饱和多孔介质一维瞬态波动问题的解析分析

　　多孔介质波动问题的研究在瞬时固结、石油勘探与开发、噪声评价与控制、地震工程以及生物医学工程等领域中有着十分重要的应用。Biot^[1]首先开创性地讨论了液饱和多孔介质中的波传播问题，其理论和成果被广泛引用并成为后来众多研究结果的参考标准。但由于 Biot 模型源于经验，缺乏充分的力学依据^[2]。而基于连续介质力学的混合物理论的发展，提出了现代多孔介质理论，该理论可理解为一种受体积分数约束的混合物理论^[2]。Bowen在现代连续介质力学框架内，以混合物理论为基础，将体积分数视为独立变量，给出了不可压和可压饱和多孔介质模型^[3,4]。考虑到不可压模型在理论上的完备性和工程应用上具有足够的近似性，本文的讨论采用所谓的不可压饱和多孔介质模型。

　　由于多孔介质波动理论的复杂性及数学处理上的困难，其解析分析多是在某些极端情形下针对某种特定边界条件给出的[5]。本文利用拉氏变换和卷积定理得到了饱和多孔介质在任意应力边界条件和任意位移边界条件下的一维瞬态波动问题的解析表达，也为检验相关问题的数值分析方法的精度和收敛性提供依据。

　　1 饱和多孔介质动力问题的控制场方程

　　建立在混合物理论基础之上的多孔介质模型，若令组成介质的各个组分的真实密度在运动学过程中保持不变，即为不可压多孔介质模型，模型可考虑体积分数的变化，因其在理论上的完备性而得到广泛应[6,7]。这里直接给出基本方程，详细过程可参照文献[8]。两相多孔介质由多孔固体骨架和充填液体构成。在下面的讨论中，用角标α 表示固体骨架( α =s)和充填液体( α =f)。引入组分不可压假设，同时考虑等温过程并忽略体力和孔隙液体的黏性，可得到如下控制场方程：

　　上述一维控制场方程(8)~方程(10)加上相应的初边值条件，便构成了饱和多孔介质一维动力响应的初边值问题。

　　2 两种边界条件下的一维瞬态波动问题的解析表达

　　2.1 应力边界条件下的解析解

　　饱和多孔介质的初边值条件应同时针对多孔固体和孔隙液体给出。当边界上给定的任意载荷为函数 f (t)以及边界自由排水时，有：

　　对边界条件(11)进行拉氏变换，可确定式(16)中的系数

　　由卷积定理和拉氏变换表，方程(16)经反变换和数学处理,得到液饱和多孔介质在已知应力边界载荷作用下的位移和孔压的解析表达式[9]：

　　在上述式中， ()0I z和 I(z)1分别是零阶和一阶修正的 Bessel 函数， H (t)是 Heaviside 阶跃函数。