结构动力响应精细时程法的一种并行算法

　　1　引　言

　　结构动力响应分析通常采用时间步长直接积分法求解,如中心差分法、Newmark法和Wilson-θ法等[1-2]。文献[3]中提出了结构动力方程求解的精细时程法,与传统的方法相比,放弃了差分格式,精度高、无条件稳定,分析中大量采用矩阵乘法,易于编程实现,适合并行计算。文献[4]将精细时程法推广到假设每个时间步的荷载为三角函数的情形,对任意荷载则展开成富立叶级数,于是可以得到方程的特解,文献[5]实现了相应的并行算法,并获得了较高的并行效率。其并行性主要基于两点:(1)精细时程法无条件稳定,可以使用大步长得到精确解,于是可以在各处理器中独立地求解任意时刻点的响应值。(2)任意荷载展开成富立叶级数后,各富立叶分量对于结构响应的贡献是相互独立的,从而并行求解,再叠加即可得到结构的总响应。

　　在实际应用中,如果不知道荷载函数的具体形式,或者仅能得到离散时刻点的荷载值,以上算法就难以应用。文献[6]基于直接积分法,给出了任意荷载作用下结构动力响应的并行算法,该算法只需离散时刻点的荷载值即可完成积分,从而解决了上述问题。精细时程法的时程积分由齐次方程的通解和非齐次项的积分构成,该算法采用了均衡时间步数的负载分配策略,由于齐次方程的通解项必须串行计算,各处理器在求解通解项时会为了自身初值而等待,这在一定程度上影响了算法的并行效率。本文设计了一种新的负载分配策略,实现了时间步数的不均衡分配,能减少处理器的等待时间,从而加快时程积分的进程。

　　2　结构动力方程的精细时程法

　　结构动力方程为

　　其中　x··(t),x·(t)和x(t)分别为加速度、速度和位移向量;M,C,K和f(t)分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和节点荷载向量。式(1)经过变量代换[3],即

　　可表示为

　　式(3)的解为

　　其中T(t-t0)=exp[H(t-t0)],文献[3]中给出了T(t-t0)的2N类精细求解方法。

　　针对荷载r(t),如果方程(3)有特解vs(t),则式(4)可以写成

　　把荷载的作用时间域[t0,tn]分成N等份,各分点的值tk=kτ,这里τ= (tn-t0)/N,k= 0,1,…,N,τ称为时间步长。在时间步[tk-1,tk]内,式(4)和式(5)可以分别写成

　　其中k= 1,2,…,N。

　　3　任意荷载项的直接积分

　　式(6)的求解,关键是第二项积分运算。对任意荷载r(t),无法找到特解vs(t)。可以假定荷载在时间步内呈现某种形式,例如线性分布,此时相应的系数向量随时间步而异,必须分别进行求解,计算工作量大,而且不容易并行化[6]。因此,采用直接积分法求解第二项。