四边简支波形夹层板的振动和稳定

    夹层板已广泛用于航空航天和现代结构工程的许多领域.在过去的几十年里关于夹层结构的研究受到了研究人员的广泛关注,一些相关的专著也已问世[1～3].然而,由于所涉及的控制方程的复杂性,大多数现有的精确解主要是针对各向同性的软夹芯夹层板.波形夹层板的波纹型夹芯为半刚硬夹芯,它在纵横两个方向上的剪切刚度差别很大,因而,对波形夹层板必须采用正交各向异性的夹层板理论.本文给出了一种把具有波纹型夹芯的正交各向异性夹层板的控制方程组化为仅包含一个位移函数的单一方程的简单方法,从而获得了在四边简支条件下其固有频率和均匀纵向压力作用下临界力的精确解.

    1　基本方程

    考虑一块由两层表层和波纹夹芯所组成的正交各向异性夹层板,如图1所示.坐标平面xy与夹芯中面一致.假定上下表层的材料性质和厚度相同.

    正交各向异性夹层板的理论首先是由Libove等[4]提出的,其基本假定是:由于表层很薄,故假定应力沿表层厚度是均匀分布的,即假定表层处于薄膜应力状态;假定夹芯只提供横向剪切力,即在夹芯中σx=σy=τxy= 0;沿厚度方向无正应变.

    假定材料主轴与x轴和y轴一致.对图1所示波形夹层板,夹芯在xz平面内的剪切刚度通常很大,可近似假设为无限大.在以上假设下,承受均匀纵向压力Nx的波形夹层板的运动方程组为^[3]

式中:w为横向挠度;Ψ代表变形前垂直于中面oxy的直线段在yz平面内的转角;D1,D2和Dk为夹层板的弯曲刚度,且D1v2=D2v1;C是夹芯在yz平面内的剪切刚度;ρ=hρc+2tρf,ρc,ρf分别表示夹芯及表层的材料密度,h为夹芯厚度;t为表层厚度;Nx为预加的作用在夹层板上的均匀纵向压力,以受压为正,下标1和2分别对应于x方向和y方向。

    在上面的控制方程组中含有两个广义位移w和Ψ,将引进位移函数ω使得w和Ψ皆可由ω表出,且控制方程组(1)和(2)将简化为仅含有位移函数ω的单一方程.

式(1)可以写成

将关于L₁和L₂的表达式代入式(6)和式(8),可得

由此,w和Ψ均由单一位移函数ω表出.显然,对任意函数ω,由式(9)和式(10)给出的w和Ψ将自动满足方程(1).

    2　四边简支矩形波形夹层板的固有频率

    将式(9)和式(10)代入方程(2),就得到了关于ω的控制方程

    对于如图2所示的具有波纹夹芯的四边简支矩形夹层板,其边界条件为

边界条件(12)和(13)即化为

显然,满足边界条件(16)和(17)的控制方程(11)的解具有如下形式

其中:Ω表示夹层板的固有圆频率.

    把式(18)代入方程(11),得到