刚柔多体系统动力学离散时间传递矩阵法

　　多体系统动力学是与计算机辅助分析紧密相关的工程应用学科，已经应用于诸如航空航天、车辆、机器人和复杂机构等许多工程应用领域，是分析其运动学、动力学和控制问题的重要工具。在理论和计算方面学者们已提出了许多有效的多体系统分析方法^〔1，2]。多体系统动力学通常追求两种目标:建立动力学方程的统一方法和系统动力学方程的统一形式。多体系统动力学方法都具有两个共同的特点:(l)必须建立系统总体动力学方程;(2)涉及矩阵阶次高。众所周知，系统动力学方程的推导既是各种方法最精彩的部分又是最难理解的部分，一旦系统结构改变，系统总体动力学方程需要重新建立。随着系统自由度的增加，总体动力学方程涉及矩阵阶次也增高，为求解系统动力学问题带来很多困难。传递矩阵法(TMM)很好地解决了上述问题。A.5.Kumar和T.5.Sankar通过融合数值积分法和传递矩阵法的优点提出了非线性结构力学的离散时间传递矩阵法(DT一TMM)^3}。文献^{「4〕一「6〕}扩展了DT一TMM的内涵，提出了全新的多体系统离散时间传递矩阵法(Ms一DT一TMM)用于解决多体系统动力学实际问题^[7，8〕本文将变形广义坐标作为状态变量引人状态矢量，用MS-DT一TMM可处理刚柔多体系统。1MS一DT。TMM基本理论MS一DT一TMM刚体元件的传递矩阵已经在文献^{〔4〕一〔6」}中给出。下面介绍MS一DT一TMM的基本思想

　　1.1状态矢量

　　将“连续”的时间t，按步长么△t二T分段，变成“离散时间”，在每个这样的离散时间段内讨论多体系统动力学问题，就可以得到所需连续时间内的多体系统动力学的解。根据元件动力学方程及多体系统组成(例如闭环系统、开环系统和链式系统等)，可定义相应体和铰的状态矢量、传递方程和传递矩阵。为了叙述方便，下面以平面运动链式多体系统为例，定义状态矢量为

　　式中:x和y是联接点在惯性坐标系的位置坐标，0是联接点处元件相对于惯性坐标系的方位角，m、q、q是联接点处相应的连接内力矩和内力。

　　1.2元件传递方程和传递矩阵

　　综合数值积分方法，第j个元件的动力学方程可写成下面矩阵形式:

　　或可迭代计算得到^{〔2,10,12〕。}对于平面链式多刚体系统为7x7的矩阵^[4】。

　　1.3总体传递方程和传递矩阵

　　与振动力学传递矩阵法一样，描述系统两端状态矢量间关系的总体传递方程和总体传递矩阵可表示为

　　式中:Z_0,1和气Z^_n，n-1分别为系统起始边界点的状态矢量和终了边界的状态矢量。将系统边界条件代人总体传递方程，可得到线性代数方程组，对其求解可得系统边界状态矢量中的未知量。进而由式(2)可得整个系统运动。由于避免了求解系统总体动力学方程，问题的解决显得容易而简洁、由式(3)、(4)可见，只要获得了多体系统中元件的传递矩阵，即可简单而方便地求解系统运动。而元件的传递矩阵可事先建立，进而建立传递矩阵库。这就为有效求解任何复杂多体系统的动力学问题提供了强有力的手段。