多输入多输出频域模态识别算法的探讨

　　多点激振模态分析技术是目前利用试验手段分析系统动态特性的最有效手段之一,它综合了单点激振模态分析技术与多点正弦激振力适调方法的优点,克服了它们的不足,特别是对分布密集模态和重根模态有很强的识别能力^[1,2]。

　　多输入多输出模态参数识别算法是多点激振模态分析技术的核心。可以证明,多输入多输出识别算法能识别重根的最大重数等于系统的输入个数^[3]。多输入多输出频域正交多项式方法是一种典型的频域识别算法^[1,4,5],与多参考点复指数时域法相比,它具有一系列的优点:利用频响函数矩阵建立以矩阵正交多项式为基底的矩阵多项式识别模型,以最小二乘法计算模型系数矩阵,从而得到系统的极点;然后根据留数矩阵的定义,用奇异值分解的方法求解,并将其分解为模态振型矩阵和模态贡献因子矩阵。

　　在应用中,发现多输入多输出频域正交多项式方法在振型识别上还有一些不完善之处: 1)识别过程需对是否存在重根进行判别,这样识别过程增加了人为的干预,增加了误判的可能性; 2)在分析频带内系统存在的重根重数等于输入个数时,理论上振型将无法识别,实际应用时则识别结果有较大误差。

　　本文将探讨出现上述问题的原因,并针对这些问题对多输入多输出算法进行修正和验证。

　　1　问题的提出

　　1.1　多输入多输出频域正交多项式方法简介对于N自由度线性时不变系统,其传递函数矩阵H(s)与模态系数的关系为

　　从式(4)可以解出系统的极点si。设对于第r阶级点sr,相应的留数矩阵为Rr,则有

　　1.2　原算法存在的问题

　　从上面推导过程可以看出,在计算Rr时,对a(s)进行了奇异值分解(式(8)),然后根据极点si是重根还是单根,其奇异值为零的个数也不同,再分别计算振型向量和模态贡献因子向量。假设一种特殊情况:在分析频带内所有的ni个极点均为重根即式(4)的解为ni阶重根s1=s2=…=sni,对a(s)进行奇异值分解,则全部奇异值σ1=σ2=…=σni=0,根据式(8)得

　　因此对a(s)的奇异值分解将无法进行。但实践中,由于实际结构不会存在严格的重根(即极点完全相等),a(s)不可能为完全零矩阵,而是所有元素数值都非常小的矩阵,试验噪声和计算精度的产生的误差把a(s)中的有用成分淹没。因此在这种情况下识别出的模态参数误差明显增大,这说明原算法是存在缺陷的。

　　1.3　修正原识别算法

　　为了解决在识别重根时存在的上述问题,应对原识别算法进行修正。在计算系统极点时,应用系统的特征方程式(4),它等效为一个广义特征值问题