基于MATLAB的平面度评定方法

　　1 引言

　　在生产实践中,测定平面度主要采用三坐标机等仪器。而平面度的评定和计算则是三坐标机等仪器自带的计算程序,该程序严格保密且价格不菲。平面度的评定和计算过程,实际上是按照平面度评定标准构造函数原型进行优化求解的过程。随着MATLAB软件功能的日益完善,其拥有600多个工程中要用的数学运算函数,函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果,而且经过了各种优化及容错处理,因此使用起来鲁棒性和可靠性非常高。我们在进行优化计算时,只需按要求构造正确的函数模型,然后调用MATLAB的优化函数即可得到满意的结果。求解结果的可视化通过调用MATLAB的插值函数和可视化函数即可方便地实现。

　　2 平面度定义和评定方法

　　根据GB 11337)89标准规定,平面度误差的定义为实际平面对其理想平面的变动量,而理想平面的位置应符合最小条件。平面度误差值为用平面度最小包容区域的宽度f表示的数值,见图1。

　　平面度误差的评定方法包括最小包容区域法、最小二乘法、对角线平面法和三远点平面法,其中最小包容区域法的评定结果小于或等于其他三种方法。而应用于三坐标机的平面度评定方法主要是最小包容区域法和最小二乘法,评定的实质是求解评定基面的参数。

　　3 平面度评定数学模型

　　3.1 最小区域法

　　根据平面的标准方程,用最小包容区域法推导出计算公式,平面的一般方程为

　　三坐标测得n(n>3)个点的坐标为xi、yi、zi,(i=1,...,n),各点到平面的距离为

　　根据各点距离构造的下列函数即为最小包容区域平面应该满足的方程

　　式中,[di]max、[di]min分别为di中的最大值和最小值。

　　3.2 最小二乘法

　　根据平面标准方程式(1)和式(2)构造以下函数,该函数即为最小二乘中心平面应该满足的关系式

　　4 MATLAB程序的实现

　　4.1 迭代求解计算步骤

　　(1)根据三坐标测得n(n>3)个点中的三点坐标为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3),代入下列方程组即可求解平面方程参数A0、B0、C0、D0:

　　(2)据式(2)求解测得n点到平面的距离di;

　　(3)按式(3)或式(4)构造函数F(A,B,C,D);

　　(4)将A0、B0、C0、D0作为初值代入式(3)或式

　　(4),迭代求解出符合该式和迭代求解精度的平面方程参数A、B、C、D,此平面即为评定基面(最小区域面SMZ或最小二乘中心平面SLS);

　　(5)按式(2)求解各点相对评定基面的距离Di;

　　(6)可求得平面度误差值f=Dmax-Dmin,式中Dmax、Dmin分别为Di相对于评定基面的最大、最小偏离值。