基于自由度变动的直线度公差数学模型

    公差是CAD/CAM集成中必不可少的信息,计算机辅助公差(computer aided tolerancing, CAT)设计现已成为CAD/CAM研究的热点之一[1～8].计算机辅助公差设计及公差信息真正地集成于CAD/CAM的前提是:在计算机中对某一实体模型或特征模型进行准确无误的公差表述,并对其语义作出正确合理的解释[4].公差语义主要表示为以下两个方面:(1)公差域如何形成与表示;(2)变动后的要素如何形成及表示.从数学的角度刻划出上述两个方面的公差语义对开发一个完整的、正式的公差信息表示的数学模型是十分重要的.

    本文以直线为研究对象,基于直线自由度(de-gree of freedom, DOF)变动研究直线度公差的数学模型,从而刻划出直线度公差的语义.

    1　直线基于自由度变动的数学表示

    直线共有4个自由度:X,Y,A,B,对于长为2a的直线,建立局部坐标系统如图1(a)所示,若分别在其自由度方向给定一变动dx,dy,dHx,dHy,如图1(b),则其变动方程为

    写成直线的一般表示形式:

    由经验可知,当要求对某几何要素给出形状公差(平面度、直线度、圆度、圆柱度等)时,总是由于先有其他的公差如尺寸公差、位置公差等,但尚不能满足对形状变动限制的要求,因此需要给出公差值更小的形状公差来进一步限制.本文假定先有尺寸公差,这样对某要素的公差要求即为形状公差域和尺寸公差域(size tolerance域,简称ST域)的交.在形状公差和尺寸公差的定义中,公差域均没有完全确定下来,尺寸公差域可以有平动自由度,而形状公差域更是可以有平动和转动自由度,在空间似乎可以任意移动和转动.

    事实上,通过深入研究尺寸公差与形状公差之间的关系以及形状公差的本质内涵,可以找到对形状公差域的惟一限制.即:在要素的整个包围盒范围内,形状公差域与尺寸域的交(即结果公差域)不能为空集.这就为形状公差数学模型的建立提供了理论基础,由此可以确定形状公差域平动和转动自由度的范围.本文以此条件确定直线度公差域在尺寸公差域内的方向和位置.

    3　直线度公差的数学模型——公差域的表示

　　直线度是限制实际线对理想线变动量的一项指标.零件上的表面棱线、平面内的直线、回转体(圆柱面、圆锥面等)的素线与轴线的理想形状均为绝对的直线,但是它们实际形状常常弯曲不直.直线度公差就是控制这些实际线的形状误差的.根据零件使用要求不同及直线所处的位置不同,对直线度分下述3种不同情况:(1)在给定平面内的直线度公差;(2)在给定方向的直线度公差;(3)任意方向的直线度公差.由于限制轴线在任意方向的直线度误差应用最为广泛,本文主要研究第3种情况.