基于测点分类的圆度误差精确评定

　　1 引言

　　圆度误差是指回转体的同一正截面上实际被测轮廓对其理想圆的变动量，常用的评定方法有4种，即最小包容区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法[1]。其中只有最小包容区域法才符合国标(GB1183-80)对圆度误差的定义，也是唯一仲裁的方法。为此，近年来国内外许多学者对圆度误差的评定提出了多种算法，其中，比较有代表性的有单纯形法、智能优化算法和迭代法等[2]。由于圆度误差评定问题本质上是非线性寻优，用单纯形法求解圆度误差，有一个将非线性问题线性化的近似过程，也就是说线性规划的最优解并不代表是圆度误差的最优解，而且有时可能多解，还有可能无解[3-4]。新颖的智能优化算法如遗传算法、神经网络算法等，可以在全局范围内有效评价圆度误差，但往往终止迭代数要取得比较大，这样数据占据计算机内存较大，而且也无法保证得到的结果是最优解[5-6]。科研工作者从最小包容区域定义出发，采用寻找步长的迭代算法求解圆度误差，计算结果能满足一定的精度要求，但判别条件复杂，求解过程繁琐，不利于程序实现[7]。笔者亦从最小包容区域的定义出发，在对各测点进行分类的基础上，提出了一种圆度误差快速、精确的评定方法。

　　2 最小包容区域法评定圆度误差的原理

　　根据圆度公差带的形状，由两个同心圆包容实际被测轮廓S时，该轮廓至少有四个点内外相间地与两个圆周接触(如图1所示)，则这两个同心圆就是最小包容(区域)圆，它们的半径差fmz即为符合定义的圆度误差值。

　　若把与内、外圆接触的点分别叫做内、外极点(如图1所示)，则最小包容区域法评定圆度误差的实质就转化为寻找一组交错排列的内、外极点，经过这些极点作同心圆，并计算其半径差值。

　　3 基于测点分类的圆度误差评定过程

　　3.1 测点分类

　　要在圆周上寻找一组交错排列的内、外极点，必须明确哪些测点是可能外极点，哪些测点是可能内极点。首先采用最小二乘圆把各测点分成外点与内点集合，如图2所示。若测点数为n，最小二乘圆的圆心(X0′，Y0′)和半径R′的计算公式如下：

　　各测点至最小二乘圆心的距离为：

　　当Ri≥R(′i=1~n)时，测点i为外点，记为MAX(p)=i;

　　当Ri≤R(′i=1~n)时，测点i为内点，记为MIN(q)=i;由最小包容圆的定义可知，外极点只可能出现在外点集合中，内极点只可能出现在内点集合中。

　　为了提高搜索效率，可以根据各测点与相邻测点之间的位置关系把内、外点集合中不可能是极点的测点(评定无关点)删除。如图2所示，在外点集合中有测点Ai，其相邻测点为Ai-1和Ai+1，过Ai-1、Ai、Ai+1三点作圆弧，得圆心E点，其坐标为：