自由曲线轮廓度误差评定及其可视化

     随着航空航天、造船、汽车等重要工业部门的日益发展,规则曲线已经不能满足精确描述零件外形的要求,各种不规则曲线的应用越来越广泛.其其误差大小可能严重影响零件的运行状况.例如汽车刹车凸轮轮廓度误差的大小将直接影响汽车的质量和安全性能,因此,研究曲线的轮廓度误差评定是十分必要的.然而,线轮廓度误差的几何量微观特征不易从测量数据中获取,且自由曲线轮廓度误差计算的数学模型非常复杂,因而对其准确评定一直是一个难点.

    曲线轮廓度误差评定的核心问题是点到曲线最短距离的计算,属于非线性寻优问题的范畴,目前的做法有牛顿法[1]、黄金分割法[2]、最速下降法[3]等,但这些方法计算复杂、收敛方向不稳定、收敛速度慢.因此,本文提出用三次非均匀有理B样条(NURBS)[4]插值反算出轮廓的理论曲线,利用微粒群算法( Particle SwarmOptimization,PSO)快速计算出点到曲线的最短距离,准确评定曲线轮廓度的误差.利用Matlab语言强大的数值计算和绘图功能,实现自由曲线轮廓度误差评定的可视化.如果能通过直观形象的图形显示,则可以清楚地反映出被测量的几何特征,这对于工程上的加工工艺分析具有重要的实际意义,同时也有利于改善高等院校5互换性与技术测量6课程的实验教学效果.

    1 理论轮廓曲线数学模型的建立

    NURBS方法作为曲线曲面造型设计的关键技术,为标准解析形状和自由型曲线曲面的精确表示提供了一个公共的数学形式,且计算稳定、速度快.

    一条k次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数[5]

    式中:p u为理论曲线上的点;di为控制多边形的顶点;wi为权因子,分别与控制顶点di相联系;ui为节点矢量;Ni,kui为k次规范B样条基函数,k=3时为三次NURBS曲线.

    对于复杂零件,其理想轮廓往往用一系列离散的数据点qii=0,1,,,m来表示,m与n的关系为n=m+2,要进行线轮廓度误差评定,必须把这些数据点拟合成光滑的曲线.反算过程如下:

    (1)确定节点矢量.本文采用规范积累弦长参数化法[6],这种参数化法如实反映了数据点按弦长的分布情况,被认为是最佳参数化法.

    (2)反算控制顶点.

    (3)插值三次NURBS曲线.

    为了计算测量点到理想曲线的距离,将第i段曲线表示成矩阵形式.在理想曲线上搜索与测量点距离最近的4个控制顶点及其对应的权值、节点值,构造一段NURBS曲线.对于节点矢量U=u0,u1,,,un+4,引入算子$,并规定ýi=ý1i=ui+1-ui,ý2i=ui+2-ui,ý3i=ui+3-ui,,,ýki=ui+k-ui.取任一节点参数uIui,ui+1,i=0,1,,,n-3,将其变换成局部参数tI0,1令t=u-ui/ ui+1-ui=u-ui/ýi,则可得到第i段三次NURBS曲线的矩阵表达式[7]: