轴线直线度误差的理论研究

　　机械零件的轴线直线度误差对机械产品的质量有很大影响。比较准确地求取轴线直线度误差值对保证和提高机械产品的质量十分重要[1~3]。迄今为止,用半径测量法求取轴线直线度误差的数学模型与算法,已十分完善#但数学模型成立的条件是满足安装偏心较小,采样点为偶数,且等角度间隔采样#保证等角度间隔采样,在采用半径测量法时并不困难,但在三坐标测量机,采样值为直角坐标值时,保证等角度间隔采样是极其困难,也是极耗费时间与精力的[4,5]。因此,建立适用于直角坐标系的轴线直线度误差的数学模型,具有重要的理论意义和现实意义。

　　1 数学模型

　　将被测实际零件置于空间直角坐标系OXYZ中,对被测实际圆柱面取n个垂直OZ轴离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取m个离散采样点#令采样点为Pij(xij,yij,zj),(i=1,2,,,m;j=1,2,,,n)。

　　1.1 各离散采样截面的最小二乘圆心

　　图1为第j个采样截面轮廓的示意图。图中Oj(aj,bj,zj)为最小二乘圆心,半径Rj为最小二乘圆半径#在每个采样截面轮廓上点Pij(xij,yij)到Oj(aj,bj)的各个半径为

　　点Pij(xij,yij)到最小二乘圆沿最小二乘圆半径方向的偏差为

　　根据最小二乘法原理,有

　　直接求解满足式(3)条件的aj,bj和Rj,难以得到关于待求量的显式表达式#为此须对式(2)进行线性化处理#即将式(2)在点Xj(aj,bj,Rj)附近的邻域内的点X0j(a0j,b0j,R0j)处作泰勒级数展开,并取一阶近似,即令

　　下面用矩阵最小二乘法求满足

　　条件的ΔRj,Δaj和$bj#由式(6)可知,数据的结构矩阵为

　　正规方程组的系数矩阵为

　　矩阵Aj为三阶对称方阵.

　　则正规方程组的常数项矩阵为

　　则正规方程组的矩阵表达式为

　　为了求得各采样截面轮廓的a0j,b0j和R0j,分别在每个采样截面轮廓上的采样点中,选取彼此相距最远的三个点(如彼此相距大约为120°的三个采样点),A(xaj,yaj),B(xbj,ybj)和C(xcj,ycj)#此三点所确定之圆的圆心和半径分别为(a0j,b0j)和R0j,则必有

　　由此式可解得a0j和b0j.于是

　　至此再由式(4)已可求得aj,bjRj。

　　1.2 最小二乘轴线

　　连接各采样截面轮廓的最小二乘圆心Oj(aj,bj,zj)所形成的空间折线可看作是被测实际轴线。令被测实际轴线的最小二乘轴线L与XOY坐标平面交点的位置向量为A0={x0,y0,0},L的方向向量为S={p,q,1},则轴线L的方程可写作

　　Oj(aj,bj,zj)在XOZ坐标平面上的投影为(aj,zj)。