基于鞍点规划及遗传算法的空间直线度误差优化评定

　　直线度误差定义为实际直线和理想直线之间的偏差.任意方向上直线的直线度误差,称为空间直线度误差[1].在实际工程中,大量的直线具有空间性,因此,研究空间直线度误差的评定和有效算法,在理论上和实践中都具有重要的意义.在ISO标准及国家标准中,明确规定:空间直线度误差评定应遵循“最小条件”原则[1].目前,在空间直线度误差评定中存在以下问题:

　　1) 如何根据“最小条件”建立空间直线度误差评定模型;

　　2) 如何根据测量结果和数据对实际测量的进行空间直线度误差评定计算.本文提出了空间直线度误差评定的非线性鞍点规划模型,并探讨了它的遗传算法求解策略.它为空间直线度误差评定提供了一种精确、快速、有效而又简捷的新方法.

　　1 鞍点规划模型

　　我们知道,理想要素和实际要素同一法线方向上的最小误差才真正反映了实际要素相对理想要素的误差大小.在实际测量过程中,当以理想空间直线为基准进行测量时,所测得的误差D未必是实际空间直线的法向误差,如图1所示,这就需要通过改变理想空间直线的位置来确定实际空间直线的法向误差.

　　若选择Z轴为理想直线C'0,则C'0的矢量方程为

　　那么,实际直线C的矢量方程可以表示为

　　理想空间直线的运动可以用复合回转群B(Φ)和平移运动矢量

来描述.理想空间直线从C’0运动到Cd0时,法向映射点也将随之变化,从法向映射点Z变为Z'.此时,实际直线C的矢量方程又可以表示为

　　而复合回转群为B(Φ) =B(α)B(β)B(γ),即

　　从而有

　　由式(3)和式(2)得

　　原始误差矢量平行于xoy平面,可以表示为

　　其中φ=φ(Z)为矢量与X轴的夹角.

　　由的正交性,可知

　　将式(5)和(6)代入式(7),可以求出Z'为

　　通过理想空间直线的位置变化,使得实际空间直线上的最大法向误差为最小,这便是空间直线度误差评定的基本思路.很显然,它属于“极大中的极小”问题,因此是一个典型的鞍点规划问题.它的鞍点规划模型可以表示为如下形式:

　　其中Δ又称为鞍点规划的目标函数,Δ*为Δ的鞍点,X=(A B x y z)T为理想空间直线C’0的运动矢量,Z*为参数Z的最优值,X*为X的最优矢量.对于理想要素C'0,一般是确定它的离散点,此时有

　　其中i =1,2,,,m,m为离散点数,一般等于测量点数.φi、δi和Zi为测量点i的测量值.式(10)可以表示为