噪声测试中近似计算误差分析

    前 言

    在用声强法测量机器噪声声功率实验中,通常用到计算平均声强级问题[1],当测量值变化范围不超过一定数值时,在机器声功率级测量方法标准中,建议简单地用分贝数的算术平均值代替能量平均值[2],本文用凸函数理论对此近似计算进行了误差分析,导出了最大误差计算公式,指出了近似计算的使用条件。

    1 近似计算

    设测得机器测量包络面上H个点的声强级分别为LI1,LI2,,,LIN,则这N个点的平均声强级LI为[3]:

    根据文献[4],有下面不等式:

    在一定条件下,可用算术平均值的代替能量平均值LI,即不等式(2)可近似写成:

    可见,式(1)是计算平均值的精确公式,式(3)是在一定条件下的近似公式。

    2 误差分析

    为了分析近似计算的误差,改写成(3):

    式中E是使用近似公式引起的误差,其表达式为:

    为了分析方便,假设:

xi= LImax- LIi, D= LImax- LImin,(6)

    式中,LImax=max{LIi},LImin=min{LIi},i=1,2,,,N,可见0[xi[D(i=1,2,,,N),则式(5)可以写成:

    根据文献[3],显然E存在极大值Emax和极小值Emin,现在用凸分析理论来求EmaxTEmin,为了方便,不妨E将看成是x1,x2,x3,,,xN的函数,由式(7)有:

    可见,当x1=x2=,=xN时,E存在极小值Emin,且:

Emin=E (x1= x2=,= xN) =0(10)

    从式(7)和式(10)可以看出,E实际上,当x1=x2=,=xN时,此时D=0,也就是各个测点值LIi(i=1,2,,,N)相等的情况,此时式(3)已是精确公式,式(10)成立是显然的,但我们更关心的是如何求E的极大值Emax。

    现在根据文献[5,6]证明,E的极大值点只能位于正方体E的顶点上,亦即这样的点(x1,x2,,,xN),xi(1[i[N)或为0或为D(D>0),否则,设(x01,x02,,,x0N)是E在E上的最大值点,且有某r(1[r[N)使0

    因为 ,所以E1在xr=x0r处不存在极大值。

    任取E的一个顶点,设其有K个坐标为0,(N-K)个坐标为D(D>0),则由式(7)可得:

E[E2=10lg[K/N+(1-K/N)10-0.1D]+(1-K/N)D(13)

    为了分析方便,不妨设:

x = K/N (14)

    显然0

    式(17)就是使用近似公式(3)引起的最大误差计算公式,式(16)是对应最大误差测量数据所处的状态,为了直观起见,可把公式(16)和(17)制成表,如表(1),也可画出x0~D、Emax~D的图形,分别见图(1)和图(2),需要指出的是,对于D=0(即xi=0,i=1,2,,,N)点的Emax、x0值分别有式(7)和式(14)计算,其值分别为0和1,结合公式(16)和(17)可定义:当0[D[0.1时,Emax=0.000,x0=1;很显然,x0>1无实际意义,为了x0有明确的物理意义,本文把表(1)和图(1)中x0写成百分数的形式。