平面度误差评定算法及程序设计

　　平面度误差是形位误差的主要指标之一，常用来评定产品的质量。GB1182-2008 对平面度误差的定义是实际平面对其理想平面的变动量，理想平面的位置应符合最小条件。如图1所示，理想平面可能的方向为A1-B1-C1-D1和A2-B2-C2-D2，相应地实际平面和理想平面的距离分别为h1和h2。图中h1<h2，由此，两平面中恰当的理想平面方向应该是A1-B1-C1-D1。

　　平面度的检验方法有很多，如水平仪测量法和自准直仪测量法。随着测量技术的进步，三坐标测量机和影像测量仪也被广泛应用于平面度测量，通过对被测表面测点坐标值进行采样，然后选择评定方法处理采样值，得到平面度值[2]。

　　平面度误差的评定方法较多，常用的有: 三远点法、最小二乘法和最小包容区域法。作者结合影像测量仪，采用最小二乘法的算法原理，编写了相应的程序嵌入到影像测量仪软件中，对影像测量仪自动测量的数据进行处理，使平面度误差的计算快速、准确、可靠。相对于另外两种方法，最小二乘法能准确、充分地利用全部原始观测数据所提供的信息，较客观地评定出不需要经过多次试算的平面度误差[3]，且能满足生产实际的测量要求，达到很好的效果。

　　1 算法原理

　　平面度误差是被测实际平面对其理想平面的变动量，理想平面是评定平面度误差的评定基准。采用最小二乘法，即按测得的实际要素求其最小二乘中心平面，作为评定基准来评定平面度误差。设被测平面上任一点的坐标值为Pij(xi，yj，zij)，理想平面的方程为:

　　按最小二乘法的基本思想，由测量点拟合的理想平面应使测量点到该平面的坐标值的平方和最小。故有目标函数:

　　S是b1、b2、b3的非负二次式，最小值一定存在。使S取极小值的必要条件是:

　　根据极值定理知b1、b2、b3是方程组的解。

　　方程组化简整理得:

　　用矩阵法解b1、b2、b3，令:

　　式中: N为测量点的数目。

　　则b=A-1B

　　求解这个三元一次方程组从而可以确定b1、b2、b3的值:

　　即确定了理想平面的位置，再将各测点相应的坐标Pij(xi，yj，zij)的xi、yj值代入平面方程，即可得对应的z方向坐标值，所以平面度误差为:

　　2 软件实现

　　该软件在最小二乘法的基础上，采用Visual Bas-ic编程语言开发，算法流程如图2所示。

　　软件部分源代码如下:

　　3 应用实例

　　用影像测量仪自动测量被测平面采样点，测点沿x轴、y轴间隔10cm均匀分布，每个方向均有5个测点，共25个测点，坐标值如表1所示。