最小二乘法在管道声学测量中的应用研究

    1引言

    在驻波声管测量材料声学性能的试验中,双传声器传递函数法是比较常用的方法[1, 3],对于测点固定布置的测量方式,国际标准ISO-10534-2[2](阻抗管中吸声系数和声阻抗的测量第2部分:传递函数法)已给出了明确的操作步骤。不过在实际的测量实验中,我们发现在低频段测量的数据跳变很大,这与经典声学理论有较大差异。其中最主要的原因是发射扬声器在低频的发射响应比较小,由于传声器是固定安装,不可避免地在个别测量频段上,有一个传声器正好位于驻波波谷附近,此时,接收信号的信噪比很低,将使吸声系数的实际测量值明显偏高。

    本文探讨的最小二乘法,通过在多个测点位置上测量管内声场的参量,通过最小二乘的数学运算,可定解求出入射声场和反射声场的声学信息,可进一步揭示出声学材料的声学参数或管道的声学阻抗。

    2管道声学测量中的最小二乘法理论[5,6]

    通常的阻抗声管测量系统如图1所示,它是一根圆整的刚性长管,一端是驱动声源,而另一端是待测的声学材料。先在管内建立坐标系,原点位于试样表面,x轴正方向指向扬声器。设在xi处测量得到的声压幅值为Ai(f),相对相位差为Hi(f),记为

pm(xi,f)=Ai(f)ejHi(f)(1)

    由于声传播过程中的粘滞损失和热传导损失,声波在管内传输时一般都要衰减。衰减的主要影响是,随着距反射面的距离的增加,声压极小值的幅值呈单调增大。分析时,衰减可用复波数

kc=k0-ja,k0=2Pf/c(2)

    代替实波数k0来描述[2]。式中a为衰减常数,以Np/m计。

    管内声场的解析表达式为

    式中pI,0(f)和pR,0(f)表示试样表面处的入射声压和反射声压,构作估计函数

    由复变函数知识+Z+2=ZZ*(Z?是Z的共轭复数),将(4)式化开后可得

    上式中RI、II、RR、IR分别为入射声压,反射声压的实部和虚部,将估计函数分别对上述四参数求偏导可得

    令(6)、(7)、(8)、(9)式等于零,并将它们写成矩阵的形式有

    由上式可解出RI、II、RR、IR,这样试样的复反射系数为

    对于装配刚性背衬的试验情况,试样的吸声系数为

    3测点等间距分布时,最佳测点间距同测量波长的关系

    为了准确地定解出入射声压和反射声压,必须全面考察方程(10),以求出满足测量要求时各测点分布的约束条件,令方程(10)的协方差矩阵为Q,考察这个矩阵的特征方程为

    如果方程(10)有解,则由Grammar法则可知QX0,此时可以根据(13)式推出KX0,否则矩阵Q是奇异的,为此先从(13)式解出K