再论圆度误差评价的“通用算法”

　　为了对圆度误差进行评价,必需先求出被评价平面圆的圆心坐标及半径,其最常用的计算方法为最小二乘法[1]。为了计算方便,文献[2]给出了基于直角坐标系中的最小二乘法而推导出的一种用于圆度误差评价的“通用算法”。针对该算法,文献[3]对有关问题进行了有益的讨论。本文对/通用算法0的通用性及极坐标系中的圆度误差评价作进一步的探讨。

　　一、关于“通用算法”的通用性

　　给定任意的圆度测量数据,及测量点的直角坐标(xi,yi)(i=1,2,,N),则可以得到如下误差方程:

　　式中,(u1,u2)和R分别为待估的圆心及半径,ei为残差。为了估计参数(u1,u2)及R,可以运用最小二乘原理。令准则函数:

　　使J1→min的(u1,u2)及R即为待求的圆心及半径。由于ei为(u1,u2)及R的非线性函数,故不易直接求解。为此,文献[2]采用了如下准则函数:

　　从而可以运用线性最小二乘法直接求解,该计算方法称通用算法[2]。由于J2有别于J1,使得基于J2而得到的圆心及半径不一定是最佳值。

　　由式(1)及式(3)得:

　　比较式(2)和(5)可知,/通用算法0可以看成对J1进行加权平均处理后的结果,相应的权值为1+ei/R(i=1,2,,N)。ei/R越小,分别基于J1和J2计算的结果越接近。通过计算机仿真,其结果表明,当ei/R较小时(一般小于2%),两种计算结果一致,可以用“通用算法”进行圆度误差评价。因此,“通用算法”的适用范围为ei与R相比是一微小量,即满足“小误差假设”。

　　二、关于基于极坐标测量数据的圆度误差评价

　　对于由式(1)所表示的误差方程,是基于直角坐标系中圆的曲线方程给出的,可以将式(1)理解为:测量数据(xi,yi)均存在测量误差,并将该误差归结成ei。而在圆度误差评价的实践中,往往采用极坐标测量数据,即以转轴为中心,在被测平面圆的圆周方向每隔一定角度αi,测量被测点的极径Ri。一般认为ai是可以精确测量的量,而Ri是存在测量误差的随机变量,此时误差方程可表示为[1]:

　　式中,εi(i=1,2,,N)为残余误差。同样,为了求得圆心坐标(u1,u2)及半径R,可以极小化如下准则函数:

　　显然,εi是(u1,u2)及R的非线性函数,不易直接求解。为此,定义如下准则函数:

　　利用式(6),可得

　　则有

　　从式(11)可以看出,可以运用线性最小二乘法直接求解J5意义下的K,u1,u2,进而利用式(10)求得R。上述计算方法可以看作极坐标中的圆度误差评价的简化算法。

　　由式(8)可以看出,J5对J4进行了加权处理(其权值为Pi),因此,通过J5而求得的结果与通过J4求得的结果两者之间存在一定的偏差。计算机仿真表明,当满足/小偏差假设0和/小误差假设0时,各个权值Pi基本相等,两种计算结果基本一致。