四翼十字形中心支撑结构的动力学分析

　　1　引　言

　　随着光学技术的发展,对光学成像分辨率要求越来越高,光学系统的主反射镜口径将越来越大,这就对光学结构的设计,以及主、次镜的安装、固定等提 出了更高的要求[1-5]。以次镜支撑为例,典型的支撑结构是四翼十字形中心支撑结构,一般来说,该结构具有较高的结构稳定性,极小的挡光面积,结构简 单、易于制造和装配等优点[6]。但是随着通光口径的增大,支撑筋板要相应地加长,这对次镜支撑结构设计提出了更高的要求。因此,通过动力学的分析计算, 确定其最佳结构参数是十分重要的。

　　2　次镜支撑结构的动力学模型

　　2.1　问题的提出

　　典型的四翼十字形中心支撑结构如图1所示,4根支撑筋板与主镜筒固定连接,而4根筋板的另一端支撑着次镜组件。为了使问题简化,假定次镜及其组 件的质量沿着圆周方向和轴线方向均匀分布,也就是说4根支撑筋板在支撑端受到均布载荷的作用产生振动。由于支撑筋板的厚度较薄,抗弯曲能力较差,因而该结 构一阶振型主要是支撑筋板的弯曲振动。考虑结构的对称性,振型曲线的延长线必定相交于主镜筒的轴线,如图1所示,图中振型曲线的虚线部分为假想的振型线的 延长。取出任意一根支撑筋板和次镜组件建立动力学分析模型,如图2所示。取次镜中心点为坐标原点,振动方向为z轴,支撑筋板中面的长度尺度方向为x轴建立 坐标系。支撑筋板在与主镜筒的相交处C固定,在筋板发生弯曲的同时,次镜也由A点转到B点,旋转了δ角。由于支撑筋板的特点是薄而宽,满足 Kirchhoff薄板条件,因此将采用板壳理论的能量原理建立动力学分析模型。

　　2.2　Rayleigh法概述[7-8]

　　基于能量原理的近似解法中最为常用的是Rayleigh法,其主要思想是,假定振型函数为:

　　其中,Cm是相互独立的待定系数;Wm是满足边界条件的已知函数。选择系数Cm使得Umax-Tmax最小,即

　　对于矩形薄板而言,最大势能Umax和最大动能Tmax的表达式如下

　　式中,D是矩形板的弯曲刚度,s是矩形板的边界,wn是固有频率,-m是矩形板单位面积上的质量。如果矩形板的厚度、弹性模量、密度、泊松比分别用h、E,ρ,υ表示,则D和-m可以写成

　　由式(2)可以得到关于系数Cm的齐次线性方程组。为使W具有非零解,必须使齐次线性方程组具有非零解,借助于该齐次线性方程组系数行列式为 零,就可以得到求解固有频率w的方程。从理论上而言,假设的振型函数只需要满足位移边界条件,而不一定要求满足力的边界条件,这是因为内力边界条件是平衡 条件,在能量法中已经用能量关系代替了平衡条件。