用计算复变函数法求解含圆孔板的应力场

　　0引言

　　在平面弹性问题中,由孔口所引起的应力集中问题,为许多研究者所关注并取得了丰硕的成果.萨文[1]用复变函数的保角映射法分别求得了含有一圆 孔、椭圆孔的无限平面的精确的理论解.王林江、林佳铿[2]通过在边界上进行复Fourier级数展开,对复变函数的保角映射法进行改进,求得了含有多个 椭圆孔的无限平内的应力场.但以上的研究均限于计算无限平面内含孔板的应力场.在实际工程中,无限平面内的应力集中问题是比较少见的.在绝大多数情况下, 孔的尺寸是不能忽略的.现在虽然用有限元法能计算有限板的含孔问题,但因其原始数据准备工作量大,对于应力变化剧烈的含孔板计算精度低等因素,仍然在工程 中不能得到广泛应用[3].本文采用弹性力学的复变函数理论、保角映射技术及边界配点的最小二乘法相结合的计算复变函数方法分别计算含有一圆孔的有限板、 无限板的应力场,并编制了相应的mat-lab程序.

　　1分析方法

　　根据弹性力学中的复变函数方法,对于各向同性的平面问题,其面内的应力分量可用两个复函数φ1(z)、ψ1(z)表示为[4]:

　　即:

　　在空心环域r z R(r>0,R ∞)中,解析函数φ1(z)、ψ1(z)应展成同时含有正幂项和负幂项的罗朗级数[5].为此设

　　式中:常数项A0的虚部代表刚体的转动.若不计刚体的转动,可令

　　对于板的圆孔内边界S,引入保角变换z=ω(ζ),将z平面上以S为边界的无限大区域映射到ζ平面上的单位圆及其内部.变换公式为:

　　式中,a为根据圆孔孔径而待定的常数.将式(5)代入式(3),并进行整理简化可得:

　　式中,ζ=az;an、bn为待定复常数;不计刚体转动时,须令Im(a0)=0.

　　将式(6)、式(7)代入式(2),对其进行整理得:

　　在实际计算中,式(8)中的最大取有限值P,最小取-Q,通常P≠Q,具体取值根据孔与板的相对大小及所要取的精度而定.由弹性力学的知识可知,在板的边界上应力分量σx、σy、τxy和外荷载分量X、Y满足下列关系:

　　式中, l为边界外法线方向与x轴正向夹角的余弦值;m为边界外法线方向与y轴正向夹角的余弦值.

　　在板的内边界上设置总数为M的点,因内边界上的点经过变换后变为在ζ平面上单位圆上的点,故只需在ζ平面上选取单位圆上的M个点,将这些点代入 式(8)求得其在内边界上的应力表达式,并将结果代入式(9),因此对于每一点均可以得到一对复系数的线性方程组,用矩阵表示为: