具有中间支承的矩形板自由振动分析

　　矩形板广泛应用于土木、机械等工程中。为了防止共振,通常采用中间支座来提高结构的刚度,使固有频率加大很多,尤其是当板的边界为混合型时。许 多学者用各种方法分析混合边界矩形板的振动问题[1-7],从这些文献及其引用的大量文献中,可以看出其计算过程包括各向同性材料和正交异性材料均未引用 到泊松比。作者采用精确的一般解析解法则一定要应用到泊松比,故他们的计算方法是近似的。D JGor2man[6]用精确解析解的叠加法求解了各种单一边界矩形板的振动问题,但在求解简支和平夹的混合边界板时不是叠加法,也未引用到泊松比,作者 对其中一些相同的算例已进行研究,并作了对比,现已另文等待发表。对具有中间支承的矩形板,国内外很少有人研究。吴晓[8]分析具有中间支承的薄膜固有振 动, Y KCheung[9]分析具有中间支承的对称层合板的振动问题。通常中间支承可以防止沿支承线不下沉而保持板自身的变形连续性,即沿支承线板的挠度为零而 板两边的斜度和弯矩是连续的,本文根据这种情况采用一般解析解法[10]来精确的求解这一问题。

　　1　一块板的一般解的建立

　　矩形薄板(图1)横向自由振动的微分方程为

　　式中

　　w为板的挠度,ω为频率,ρ为单位面积质量,D为抗弯刚度.采用分离变量法,令

　　代入式(1)可得[10]

　　将上式除以XY,然后对y微分二次可得

　　上式两边必为一常数,设为-a2,可得

　　上式可分为二种情况:即a等于零和不等于零的结果分别为

　　将以上二式代入式(1)分别可得

　　令y=ery代入第一式可得特征方程的根r=±γ和±iγ,式中i= -1。将指数函数表成双曲函数和三角函数可得

　　同样,由第二式可得r=±a2±γ2。此时可分为二种情形:1)当a<γ时应有r=±a1和±ia2;a1=a2+γ2和a2=γ2-a2,相应地有

　　2)当a>γ时应有r=±a1和±a3;a3=a2-γ2,故有

　　同样,在上式中如将X,x,α,Y,y,α1,α2,α3分别改为Y,y,β,X,x,β1,β2,β3,则可得另一类解。根据本文的需要,选取下列能求解任意边界条件的一般解为:

        式中

　　式(8)会有4m+4n个积分常数。其中前一部分解满足边界条件y=0和y=b;后一部分满足边界条件x=0和x=a。由于每个边有挠度或等效 剪力,斜度或弯矩二个边界条件,将每个边界条件所建立的方程式中的非正弦函数均展成正弦级数,则利用正交性可得4m和4n个方程式,根据积分常数组成的系 数矩阵行列式等于零,即可求得各阶频率和振型。各种非正弦函数展成正弦级数可参看文献[10]。