用Timoshenko梁修正理论研究功能梯度材料梁的动力响应

　　功能梯度材料是基于一种全新的材料设计概念合成的新型复合材料^{[1 -10]} ，日本科学家于 20 世纪 80 年代末年提出了功能梯度材料的概念^[11]， 即根据具体的要求，选择使用两种不同性能的材料，通过连续平滑地改变两种材料的组织和结构，使其结合部位的界面消失，从而得到功能相应于组织变化而变化的 均质材料，最终减小或消除结合部位的性能不匹配因素。功能梯度材料梁的力学性能引起了工程设计人员的极大关注，有关研究功能梯度材料梁的文献都没有确定功 能梯度材料梁的中性轴真实位置，而是假设了功能梯度材料梁中性轴位置在距离梁上表面二分之一处，然而一般功能梯度材料仅是功能相应于组织变化而变化的均质 材料，功能梯度材料梁中性轴位置不在距离梁上表面二分之一处，这种研究方法显然是具有局限性的。基于上述原因，本文首先确定了功能梯度材料梁的中性轴位 置，在此基础上应用 Timoshenko 梁修正理论建立了功能梯度材料梁的振动方程，讨论了有关因素对功能梯度材料梁动力响应的影响。因为经典 Timosh-enko 梁理论建立的运动方程是时间和空间的四阶微分方程 ，导致存在两个实频率系。文献^[12，13]对 Timo-shenko 梁的振动方程进行了修正，修改了Timoshenko梁理论的不足之处，证明了 Timoshenko 梁实际上仅有一个固有频谱。因此，本文采用 Timoshenko 梁修正理论研究了泡沫铝合金梁的动力特性。

　　1 振动微分方程

　　对于功能梯度材料梁，其下侧为金属材料，上侧为陶瓷材料，中间为两种材料组成的混合物。由于金属材料与陶瓷材料的泊松比相近，可令它们的泊松比均为μ。设金属材料的弹性模量、剪切弹性模量、密度分别为 E_m、G_m、ρ_m，陶瓷材料的弹性模量、剪切弹性模量、密度分别为 E_c、G_c、ρ_c，则梁内任一点的弹性模量、剪切弹性模量、密度分别为:

式中，E₁= E_m- E_c，G₁= G_m- G_c，ρ₁= ρ_m-ρ_c，V_m为金属材料组分的体积比例系数。

　　假设坐标原点建立在功能梯度材料梁的中性轴上，设功能梯度材料梁中金属材料组分的体积比例系数为梁厚方向坐标 z 的幂函数为:

式中，k 为梯度指数，z0为梁中性轴真实位置与有关文献假设距梁上表面二分之一处的中性轴之间的距离。

　　根据 Timoshenko 梁修正理论假设 φ 为梁截面弯曲转角，y 为梁的挠度，可知功能梯度材料梁的应力表达式为: