主自由度对子结构静力凝聚模态分析的误差影响研究

　　0　引言

　　相对静力分析，结构模态分析需耗费更多的计算机资源，超大型结构尤其如此。事实上，工程中通常只关心结构的某些低阶模态，对高阶模态并不关注。而子结构静力凝聚模态分析法就是求解低阶模态的有效方法，其主要优势是缩减模型自由度数量从而节约计算时间。

　　子结构静力凝聚模态分析法是一种特殊形式的模态综合法，它不进行子结构的模态分析，而只是进行子结构的自由度凝聚^[1]，其明显优势是子结构凝聚后形成的超单元可以重复使用，对于多重复结构分析非常实用。

　　利用子结构方法时需要定义一定数量的自由度作为子结构主自由度(master　degree　of　free-dom，MDOF)。主自由度的 选择对计算精度和计算时间具有重要影响，本文将深入研究主自由度对分析误差的影响，主要包括主自由度分布和数量对分析误差的影响。

　　1　子结构静力凝聚模态分析方法原理

　　子结构静力凝聚模态分析法是一种能大幅缩减自由度数量的模态分析方法^[1-3]。该方法的自由度缩减主要在子结构级进行，其理论基础为Guyan凝聚方法[4]，它建立在静力平衡方程基础上，也称静力凝聚，是大型复杂结构缩减自由度的常见方法^[5]。

　　设整体结构已划分为若干子结构，子结构的无阻尼自由振动方程为

　　式中，M为子结构质量矩阵;K为子结构刚度矩阵;u为子结构位移。

　　将子结构的自由度划分为主自由度和非主自由度两部分。相应地，式(1)可分为两部分，各参数表示如下

式中，上标m表示主自由度，s表示除主自由度之外的所有其他自由度。

　　设子结构的第i阶特征值为λ_i，则模态方程为

　　对于较低的频率，动力耦合量影响较小，可忽略，因此式(4)简化为

式中，Φ_c为约束模态。

　　因此凝聚后子结构的振动方程可表示为

　　自由度静力凝聚后，结构的非主自由度被凝聚掉，只剩下主自由度。整体分析时，利用各个子结构之间连接界面的对接关系，便可形成整体结构的振动方程。

　　2　子结构静力凝聚模态法精度分析

　　由于子结构静力凝聚主要在子结构级进行，因此计算精度和计算量主要由子结构级决定，而计算误差主要由式(4)中省略掉的动力耦合量引起^[6～7] 。

　　将式(4)按Numman级数展开：

　　由于式(16)考虑了主副自由度之间的动力耦合影响，因此计算误差比Guyan静力凝聚法小[7]。