偶应力/应变梯度弹塑性理论有限元实现

　　0　引　言

　　在微/纳米级的工程现象中,普遍存在着尺度效应的问题.一系列的微观试验[1~5]表明尺度效应广泛地存在于微米级的工程问题中.

　　在解决尺度效应问题上,传统的连续体力学遇到了困难.应变梯度理论引入了细观材料长度,因为细观材料长度与缺陷尺寸存在一定的关系,可以解释尺 度效应.最近20年,应变梯度理论得到了迅速的发展,被广泛应用于预测微观试验及复合/晶体材料的尺度效应、剪切带分析、断裂力学等领域,并有一些研究者 将之应用到混凝土和岩石的变形分析上,也获得了一定的成功.目前的应变梯度理论主要有两大类:一类是在本构方程中引入应变梯度以及与之功共轭的高阶应力. 该理论的前身是1909年Cosserat兄弟建立的偶应力理论[6].20世纪60年代,Toupin[7]、Koiter[8]和 Mindlin[9]对之进行了引申,本构方程中引入应变梯度,不仅与微观曲率有关而且与法向应变梯度有关.在此基础上,Fleck等从几何必需位错和统 计存储位错的角度出发,发展了偶应力塑性理论[10]和应变梯度塑性理论[11、12],引入了高阶应力与高阶应变,该理论便于有限元的理论实现,并且可 以解释一系列微观试验的尺度效应. Gao等[12、13]基于Nix等[14]发展的位错模型,提出了一种基于位错机制的应变梯度塑性理论,即MSG理论.该理论通过一个多尺度、分层次的 框架,将宏观塑性理论和位错理论有机地联系起来.由于Fleck-Hutchinson框架及Gao-Huang框架各自的优越性,很多人在此基础上提出 了改进的应变梯度理论,例如Shu等[15]提出的应变梯度晶体塑性理论,Huang等[16]提出的CMSG理论.另一类应变梯度理论是在屈服函数中引 入等效塑性应变的Laplace算子.这类理论首先由Aifantis[17、18]提出,由于本构关系与平衡方程保持不变,仅修改了屈服函数,结构更为 简单.

　　有限元法仍然是求解应变梯度理论的主要方法,现在建立的不协调的单元函数都只考虑分别满足C0连续条件和C1连续条件,Ai-kah等[19] 提出了同时考虑C0和C1连续的C0-1分片检验条件,并构建了可通过C0-1分片检验的RCT9+RT9[20]单元.本文提出一种新的应变梯度理论, 并利用偶应力/应变梯度理论分析剪切带问题.

　　1　偶应力及应变梯度理论

　　1.1　偶应力理论

　　偶应力理论在本构方程中引入旋转梯度,是应变梯度理论的一种反对称的特殊情况.按照热力学一致性条件,推导偶应力理论增量形式[21].

　　Cauchy应力

　　其中σij为τij对称部分,rij为τij反对称部分.

　　几何方程

　　其中χji为曲率张量分量,ωi为旋转矢量分量.

　　本构方程