点式压电智能结构的模型修正与振动主动控制

　　1　引　言

　　在对压电智能结构振动主动控制的研究中,基于现代控制论,特别是利用线性二次优化理论来设计控制律仍然是一种常见的方法。这一方法是建立在结构的闭环动力学模型的基础上的,因此,所得到的控制律在实际结构上的应用效果在很大程度上取决于结构的闭环动力学模型的建模精度。有限元方法虽然已被大家认为是复杂结构动力分析的最有效的方法,然而在有限元建模的过程中存在着材料参数测量误差,并且由于一些结构参数难于准确测定和单元类型的限制,通常都要对结构的几何形状和边界条件等进行一定的简化,在点式压电智能结构中通常还有不计压电片与粘结层的假设。这样,有限元结构动力学模型就不可能与结构的实际特性完全吻合,有时还会存在较大的误差,在进行振动主动控制时使用不准确的有限元模型必然会影响控制的效果及控制的稳定性。这就是在智能结构的研究中经常出现计算机模拟效果十分理想而将同一控制律应用于实验的效果却常常不好的一个重要原因。

　　本文提出了根据点式压电智能结构的模态实验结果,利用摄动有限元方法对结构的初始有限元模型进行修正,而使修正后的有限元动力学模型与结构实验模态分析在低阶模态上十分接近,从而提高了点式压电智能结构的建模精度。根据修正后的模型,利用基于线性二次优化理论的模态控制方法所得到的点式压电智能结构的控制律能有效地应用于结构振动主动控制的实验中。

　　2　摄动有限元方法

　　当结构的单元参数包括几何参数(板单元的厚度、梁单元的截面面积以及节点坐标等)、材料特性参数(E、G、λ、μ、ρ等)以及边界的支承条件参数等等有微小变化时,则单元的刚度阵、质量阵以及形函数矩阵等也会发生相应的变化。结构的不定参数可表示为

　　由于结构的有限元模型的总体刚度矩阵和总体质量矩阵都是小参数ε的函数,因而,由此决定的系统固有频率与主模态也是小参数ε的函数。根据多元函数的Taylor展开式,并根据ε是小变量的性质,可得不定参数结构的特征值与特征向量的二阶摄动表达式

　　将(2)、(3)、(4)、(5)诸式代入(6)式中,把所得结果按多项式相乘展开,根据εi、εj的任意性,比较等式两端εi、εj的同次幂的系数,并保留到二阶摄动项,便可以得到对于不定参数结构的动特性的摄动递推方程

　　通过求解上式可得到ωi、ωij、Φi、Φij,具体方法见文献[3、4]。

　　用摄动有限元方法进行结构动力模型修正的步骤为:1)根据有限元单元划分的实际情况,把初始模型中不准确的地方,例如:进行了几何简化(包括有压电片处)或材料性质不准(包括粘结层的影响)以及边界支承条件参数等,选择相应的不定参数,设共有r个不定参数,利用上述的方法计算出相应的系数;2)根据实验模态分析的结果应与动力模型分析结果相等的原则,设测试获得了结构的前m阶特征值和特征向量,应有