局部自由阻尼梁结构动力响应的精确解

    阻尼处理是对结构进行减振降噪的重要手段之一,而对结构进行全面阻尼处理有时并不合理,既增加了总体成本,又增大了结构重量,振动控制效果却并没有达到最大化。因此,对结构的阻尼处理进行优化设计则显得非常必要,而运用理论方法对局部阻尼处理结构进行计算分析则是阻尼优化设计的基础。当前许多研究者对局部约束阻尼层结构进行了大量的理论和仿真分析及实验[1-4],而专门针对局部自由阻尼层结构的分析则相对较少[4, 5]。本文从等效复刚度理论入手,利用传递矩阵方法推导了局部自由层阻尼梁式结构的动力频响方程,通过与有限元方法和文献结果进行对比,验证了本文方法的正确性,为工程应用中阻尼的设置和优化提供了一种实用、简单可靠的理论分析方法。

    1 理论分析

    假设现有一梁式结构,拟对其进行多处局部自由阻尼层处理,如图1所示。

    根据梁式结构阻尼处理及运动的特点,在进行理论分析及计算中作如下假设:

    (1)阻尼层与弹性层作同样曲率的弯曲振动,而忽略相对伸长;

    (2)忽略纵向振动、剪切变形和转动惯量的影响。

    设基本弹性层和阻尼层的单位长度质量分别为m和mc,杨氏模量分别为E1和E2。通常,基底层损耗很小,可忽略不计,计阻尼层的损耗因子为B。利用等效法将贴阻尼层的那段梁等效成刚度为B*、损耗因子为G且具有单位长度附加质量mc的一段自由阻尼梁,则多处作局部阻尼处理的梁可看成无阻尼梁与自由阻尼梁的交替组合。

    假设组合梁的振动是一维的,即只有弯曲振动。我们拿出第n段自由阻尼梁对其作具体分析。如图2所示,利用复刚度法可计算得到自由阻尼梁的损耗因子、刚度与结构参数的关系式如下[1]

    式中hn=Hn2/Hn1是第n段自由阻尼梁中阻尼层厚度与基本弹性层厚度之比值; en=En2/En1是阻尼层杨氏模量与基本弹性层杨氏模量之比值;Bn是第n段自由阻尼梁中阻尼材料的损耗因子;Bn1为基本弹性层的弯曲刚度; e*n=E*n2/En1=En2(1+jBn) /En1=en(1+jBn)。

    传递矩阵法的优点是能将结构离散为一些简单的弹性和动力部件,根据不同的问题和要求,列出结合点处部件两端的状态矢量,建立部件间状态矢量传递关系,导出传递矩阵,再利用整个系统的边界条件求得系统的近似解。其被广泛用于解决复杂结构的动力响应问题[6,7]。

    在上面分析的基础上,现假设在两端固定的梁上粘贴了i个自由阻尼层,激励力f=FejXt作用在无阻尼层梁段上的z点,以阻尼层两端和外力作用点为界限对梁进行分段,整个梁被分成了2(i+1)段,如图3所示。