基于概率的桁架结构随机振动响应分析研究

    1 引言

    目前，Monte Carlo 法[3]、摄动法[4]和其它随机有限元方法[5]被广泛应用于随机结构的动力分析中。Monte Carlo 方法具有普遍性，但计算量太大；摄动法可以减少计算工作量，但由于省略高阶项而很难给出保守解。另外，就作者所知，几乎还没有用随机有限元方法来研究结构物理参数、几何参数和阻尼中的某一具体参数对结构随机振动响应的影响。

    本文以桁架结构为对象，在利用随机因子法（RFM）[6]分析随机结构动力特性的基础上，对随机桁架结构在随机激励下的振动响应问题进行了分析研究。利用求解随机变量函数矩的方法和求解随机变量数字特征的代数综合法，推导出了随机桁架结构在随机激励下位移响应均方值和应力响应均方值随机变量的数字特征计算表达式，表明了桁架结构的物理参数和几何尺寸的随机性对其在随机振动激励下位移响应均方值和应力响应均方值随机性的影响，从而为进一步的随机桁架结构的动力设计奠定了基础。

    2 桁架结构在随机激励下的振动响应

    设结构所受到的随机激励为非平稳随机过程[7]，则有：

xg（t）=A（t）（ft） （1）

    式中：xg（t）—非平稳随机地面输入加速度；A（t）—给定的确定性包络函数（调节函数）；f（）t—零均值平稳高斯随机过程。当，则结构所受到的随机激励为平稳随机过程，即有：xg（t）=（ft）。

    设结构共有 n 个自由度，结构受到非平稳随机激励时的有限元动力学方程可表示为：

［M］｛y（t）｝+［C］｛y（t）｝+［K］｛y（t）｝＝ -［M］｛R｝xg（t） （2）

    式中：［M］、［C］和［K］—结构的质量、阻尼和刚度矩阵；｛y（t）｝、｛y（t）｝和｛y咬（t）｝—结构的位移、速度和加速度响应向量；｛R｝＝｛1…1｝T.

    将式（1）代入式（2）可得：

［M］｛y（t）｝+［C］｛y（t）｝+［K］｛y（t）｝＝ -［M］｛R｝A（t）（ft） （3）

    式（3）是一组耦合微分方程，利用振型解耦及 Duhamel 积分，可求得方程（3）的位移响应为：

｛y（t）｝＝t0乙［］［h（t-τ）］［］T［M］｛R｝A（t）（ft）dτ （4）

    式中：［准］—结构的正则振型矩阵；［h（τ）］—结构的脉冲响应函数

    矩阵，且有：

    式中：ωj—结构的第 j 阶固有频率；ξj—结构的第 j 阶振型阻尼比；n—结构的固有频率总阶数。