基于三坐标测量的蜗杆安装偏心的补偿算法

　　蜗杆安装的偏心是由于工件在测量机上安装以后,其几何轴心与测量机的旋转轴线不重合而产生的。如果我们忽略了对偏心的考虑,则会对后边的测量和误差评定造成很多不利影响,使得有些测量项目的测量精度大幅降低。所以,本文在误差补偿的过程中引入安装偏心量,通过一定的算法把此偏心误差提取出来,再对测量得到的数据进行消偏心处理,即可得到更具价值的信息,而利用这些经过补偿的数据,代入各检测项目的计算流程即可得到更准确的测量结果。

　　获取工件在齿轮测量中心上安装偏心误差的问题,其实质是多变量高次非线性最优化问题[1]。本文使用的求解非线性方程组的最小二乘解的广义逆法是解决此类问题的经典算法,具有形式简单,计算效率高,全局收敛等优点,因此被广泛应用于最优化问题的求解中。

　　1　蜗杆安装误差的数学模型

　　在利用齿轮测量中心进行测量时,需要对待测工件进行安装,用测量中心的旋转轴顶住蜗杆几何轴心的两端。而在实际的操作中,此过程必然会导致测量中心的旋转轴与待侧工件的旋转轴不相重合,由此产生的测量误差即为蜗杆的偏心误差。为补偿此系统误差,需要建立蜗杆偏心误差的数学模型,通过几个坐标系间的变换关系,找到实际模型与理论模型的联系,从而为最小二乘方法的使用创造条件,最终从实际模型中抽象出里面蕴含的数学问题。

　　工件在测量中心上的夹装情况如图1所示。

　　设工件坐标系为O-XYZ,最终需要求出工件坐标系到机器坐标系的变换矩阵,从而找到实际测量点坐标到对应的理论点坐标之间的关系[2]。设工件坐标系的坐标原点为工件左侧端面圆的中心O,工件坐标系Z轴方向为工件的轴线方向,而实际夹具所夹的位置为A、B两点,即把A,B两点的连线定为机器坐标系的Z轴。为了确定2个坐标系之间的关系,需要进行坐标的变换,变换过程如下。

　　1)坐标系O-XYZ平行Z轴移动,把坐标原点由O平移到左侧端面偏心A点,如图2所示。

　　设A、B两点的工件坐标系坐标分别为(xA,yA,0),(xB,yB,L),L为工件的长度,工件坐标系中任意坐标为(X,Y,Z),则由坐标系O-XYZ向坐标系A-X1Y1Z1的平移变换公式为:

　　2)再把坐标系A-x1y1z1绕轴z1旋转φ1角度(如图2所示),使x1轴经过点B在左侧端面上的投影B′,如图2所示,变换公式为:

　　3)把坐标系A-x2y2z2绕轴y2旋转φ2角度,使z2轴(即AA′方向)与AB重合,如图3所示。

　其中,由于A′与B间的距离相对于工件长度非常小,所以可以用A′与B间的直线距离代替它们间的弧长进行计算,φ2可以近似表示为: