琴弦振动理论在工程中柔索求拉力的应用

    0　引　言

    有弦的琴或其它有弦的乐器在演奏前都需要调整张紧力(又称调谐),目的是使弦的横向振动频率与乐音频率对应[1](见表1)以免奏曲时失真。

    目前在国内斜拉桥已有几十座了(如某斜拉桥有斜拉拉索102根,最长的230米,最短的45米,钢丝索粗70mm),桥梁设计计算时,每根拉索的受力范围是确定的不允许过大也不能过小,否则对这类重大工程会带来严重的祸害,为此,必需每根索均要实测柔索的张力并必须调整到符合设计要求的数据。对于大型体育馆(某地容纳6万人的开孔屋顶,它有拉索24根,最长的90米,最短的35米,钢丝索粗45mm),屋顶的每根索拉力在安装过程中都必须实测之后,调试再实测,直到符合设计的要求。对于大型水坝的升降起吊闸门,(如某闸门重几百吨,世界第一大的三峡闸门重1600吨),有的是用螺杆升降,有的也用钢丝索升降,其中用振动方法既可以求索力又可定期检查是否有故障。

    1　弦振动的固有频率公式与柔索张力计算公式

    1.1琴弦振动产生的乐音

    两端固定的弦,张力为F,某瞬时的变位曲线为v(x,t),单位长度的质量为ρ,则弦横向振动的微分方程为[3,4]

式中(1)式在数学中称为一维波动方程,式中a为波速。

    从(1)式可以导出弦振动固有频率的公式为

式中i表示模态数,l为弦长。

    如果用某些特定l、F、ρ的数值代入(2)式,得到振动频率f₁=130.81Hz,这时,弦振动产生幅射声音就是乐音1·。

    1.2柔索张力的计算公式

    对于斜拉桥的索拉力、大型体育馆的索拉力、高水头闸门的升降索力等,由于索长度数据与截面数据之比很大,二端支承均张紧,它的横向振动问题简化为图1所示模型,那么从(2)式可导出这类问题的索力计算公式为

    F =4l²f²nρ         (3)

由于斜拉桥的索长有几十米到几百米,重几吨到几百吨,实际上索两端拉力是不相等的,因此(3)式中应该加入一个修正系数β,又由于索振动的一阶固有频率的成分要占90%以上,故索拉力计算公式(3)应该改为

    F′=4βl²f²1ρ     (4)

式中β值由实验或进行模拟实验确定,一般情况索的上端拉力要比下端拉力大,从我们的一些实验也证明β值大于1,按(4)式计算对索的强度设计也是较安全的。以图2某斜拉桥为实例,我们用缍击法测试各柔索的各阶模态频率,将第一次测试结果(索力调节之前)代入(4)式得20根索的索力,见表2所示。