压杆屈曲方程传递差分法的推导

    压杆失稳时,弯矩沿杆轴线是变化的,为减轻机械或结构的自重,工程上多采用变截面压杆。而求解变截面压杆的微分方程不是常系数的,一般而言求解比较困难。此时若采用差分法求近似解,则行之有效。传递差分法是对每一个差分网点建立差分方程,列出齐次线性方程组,从而可得压杆的屈曲方程。然而,欲提高差分法解题精度,则需加密差分网格,这样就增加了行列式的阶数,因此加大了计算工作量。本文根据压杆失稳时差分方程的特点,将传递矩阵法与差分法相结合,称之为传递差分法。它的特点是只需进行一系列的低阶矩阵的乘法运算,便可得到屈曲方程,容易求解,而不必进行大量的繁琐计算,弥补了传统差分法的不足。

　　一、基本概念及递推公式

    对一长为l的变截面压杆,失稳后挠曲线的微分方程为:

     用差分法解式(1),可将杆分为n等份,网点格为(n+1),间距为h,式(1)经差分处理后成为:

    V_i+1+A_iV_i+V_i-1=0………………………(2)

    式中,A_i=Ph²/EI(x_i)-2,表示在第i点取值(i=0,1,2,……n)。

    建立位移矩阵:

    则式(2)可改写成:

    {δ_i+1}=[T_i]×{δ_i}………………………… (3)

    经传递运算,最后可得:

    式中,{δe}和{δb}分别是x=L和x=0的两个边界条件下对应的位移列阵。

　　二、压杆屈曲方程的推导

    压杆屈曲方程与压杆两端的约束条件有关。下面仅就一端固定(x=L)和一端自由(x=0)的压杆为例,推导压杆的屈曲方程,对于其他约束条件可类推。

    对于一端固定、一端自由的压杆,杆端的边界条件可以写成:

    　另一方面,由式(5)可知:

     V_n=T₁₂V₁　　V_n+1=T₂₂V₁

    当i=n时,由式(2)可得:V_n+1+A_nV_n+V_n-1=0

    由V_n+1=V_n-1便可得到:(A_nT₁₂+2T₂₂)V₁=0

    因为V1≠0,所以必有:

    A_nT₁₂+2T₂₂=0………………………………(9)

     这就是所要推导的屈曲方程,式中T₁₁和T₂2可由式(8)经传递运算而得到。例如:取n=3,则由式(8)经传递可得: