输流管道非线性横向振动固有频率分析

　　引　言

　　输流管道的非线性流固耦合振动问题可归结为典型的无穷维连续陀螺系统动力学模型。Paidoussis对悬臂输流管道进行了细致和系统的研究[1-3]。国内,对各类输流管道动力学行为的研究也有大量的工作和进展[4-5]。利用牛顿第二定律或哈密顿原理得到管道横向振动的运动方程。由于轴向应力的变化较小可以忽略,则由耦合的轴向及横向振动解耦得到横向振动的积分-偏微非线性模型的运动方程,对轴向应力的均匀性假设称为准静态假设;考虑轴向应力沿管道的变化得到偏微分非线性模型的运动方程。多尺度方法在非线性问题研究中有着广泛的应用,直接多尺度方法的求解结果比离散-摄动法得到的结果更令人满意[6]。

　　笔者利用多尺度方法分析输流管道横向非线性振动的两种非线性模型下的运动方程,通过比较数值方法得到不同非线型模型的固有频率,讨论两种非线性模型的差别。

　　1　运动方程

　　设有输流管道两端铰支距离为L,管道线密度为m,杨氏模量为E,转动惯量为I,内部有流体线密度为M,流体沿x向以速度Γ流动,仅考虑管道横向变形U。设管道两端拉力P及流体压力N不随时间变化,考虑管道轴向变形引起的几何非线性,分析梁及流体微元段的受力情况,利用牛顿第二定律得到运动偏微分方程[3]为

　　其中:ρ为流体质量与总质量的比值;κ为无量纲化的管道刚度;γ为无纲化流体速度;ε代表所在项为小量。

　　考虑通常情况的准静态假设,分析梁及流体微元段的受力情况,得到管道横向振动的积分-偏微分形式的运动方程,无量纲化后[5]得到

　　其中:各变量符号由式(2)决定。

　　2　线性方程基本解

　　不计阻尼和非线性项,分析式(3)和式(4)并利用分离变量法得到

　　其中:ωn为系统第n阶固有频率;n为第n阶特征函数。

　　以两端铰支为例,其边界条件为

　　根据边界条件(6)得到第n阶特征函数为

　　其中:ωn,βin(i=1,2,3,4;n=1,2,…)可以用数值方法求得。

　　3　多尺度方法分析

　　多尺度方法可以直接应用于带有弱非线性项的偏微分运动方程。考查运动微分方程式(3),设一阶近似解为

　　其中:T0=t,T1=εt分别为快尺度与慢尺度。

　　把式(10)及其微分代入式(3)并按ε不同阶数分离得到

　　其中:D₀,D₁分别为对T₀和T₁取偏微分。

　　若不考虑系统内共振,则式(12)的解可以写为