流函数-涡量法的二维方腔流数值模拟

　　1967 年,Aziz 和 Hellums 以涡量和矢性流函数主要因变量计算了凹穴内有回流的三维层流流场,论证了流函数- 涡量法在三维问题计算中应用的可行性。上世纪 80 年代以来,李有章对流函数- 涡量法作了进一步研究,重新推导了涡量输运方程,提出了确定矢性流函数边界条件的方法,并将这种方法用于三维湍流计算3提出了在正交曲线坐标下矢性流函数涡量法的通用方程, 形成了较为完整的流函数- 涡量法理论体系。郭鸿志、朱洁等给出了三维非稳态湍流流动与传热的数学模型及微分控制方程通式,用控制容积法推导出差分方程,并计算了直流电孤电渣钢包炉内的流动与传热。对上述计算结果进行验证表明,用这种方法计算流场是可行的,计算结果可靠。

　　目前, 流动过程的计算机模拟大多采用原形法,即以速度、压力为因变量来计算流场。在计算中,原形法必须使用交错的网格系统, 而流函数- 涡量法仅用一套网络系统即可, 因此流函数- 涡量法降低了模拟发散的可能性,另外在流函数- 涡量法中,压力是隐含变量,质量守恒定律自动满足,不需对速度、压力进行校正, 所以这种方法不仅收敛性好, 而且计算速度快。

　　因此本文采用流函数- 涡量法, 用有限差分法对其离散, 以方腔驱动流为计算实例, 以证明文中方法的可行性。

　　1 数学模型与数值解法

　　1.1 基本方程

　　流函数的定义式为

　　涡量的定义式为

　　对于二维不可压缩粘性流体, 常用 N—S 方程的涡流函数法求解,其形式为:

　　式中 t———时间步长, s;

　　γ———流体的运动粘度, m2/s;

　　Ω———涡量, s-1;

　　φ———流函数, m2/s;

　　v!———速度矢量, m/s;

　　x, y———直角坐标系下两个方向上的坐标, m;

　　u, v———分别为 x, y 方向上的速度, m/s。

　　1.2 边界条件

　　(1)速度的边界条件

　　固体壁面处设置无滑移边界条件, 即 u=0, v=0;

　　平板处的速度为驱动速度;

　　(2)流函数的边界条件

　　在固体壁面及平板驱动处的流函数 φ=0;

　　(3)涡量的边界条件

　　①平板驱动处:

　　②固体壁面上:

　　在流函数- 涡量法中, 壁面涡量的确定是比较带有一定的任意性, 处理不当也很容易引起发散。一般采用的方法是通过与边界相邻的内节点上已知的流函数来确定边界上的涡量。这里采用一种常用方法,即 Thom 方法。例如: