贴体坐标系下求解复杂几何域内的单相流动

　　1　前言

　　有限差分方法作为一种成熟的数值方法积累下了很多成功的算法,而且具有计算稳定的特点[1]。但是由于受到坐标系的束缚,很难推广到复杂几何形状的流场中去。随着贴体网格技术的出现,有限差分法得到了更为广泛的应用,同时也给网格的生成方法提出了新的课题。本文试图利用流场边界节点疏密分布来控制内部节点的疏密安排,简化贴化网格布局的过程,以便快速获得具有较好的正交性和贴体性、疏密程度适合物理场变化的计算网格。同时,由于现有的各种描述流动的数学模型,尤其是工程应用中具有实际意义的湍流模型各有优劣,与其说通过数值模拟找到一种适用于各种流动的数学模型不如说是在研究中确定这种模型的适用范围更好[2]。因此流动的数值模拟还需要大量的比较工作,本文选用了工程实际中应用较为广泛的双方程湍流模型,并结合壁面函数法对几种复杂几何形状的管道内流动进行了数值模拟,考察了方程对回流型管道内流动的模拟效果并给出了相关分析。

　　2　贴体网格的生成

　　2.1　偏微分方程法生成贴体网格

　　贴体坐标的网格生成问题实际上是一个边值问题,这就规定了变换函数必须是单值连续函数,假设两套坐标系数间存在以下的函数关系:

　　x = x(ξ,η),y = y(ξ,η) 　　(1)

　　而满足Laplace方程和Poisson方程的调和函数具有上述特点,所以贴体坐标系统的变换可以看作在给定边界条件下求解这一类椭圆型方程。由于是用数值方法求解,微分方程法可以适用于各种复杂的几何形状,使得网格生成程序具有通用性。

　　2.2　网格的疏密控制

　　在构造坐标转换函数过程中,为了使物理平面上的网格划分能够适应物理场的变化,Thompson通过在Poisson方程中添加源项控制网格的疏密程度[1]。但是他推荐的源项形式复杂,涉及到的经验系数很多,不易掌握。事实上,工程实际中大多数的设备外形是已知的,如果事先确定好边界上节点疏密,并将其反映到求解区域的内部就能够得到符合计算要求的贴体网格。由于微分方程的源项能够控制节点的分布,反过来已知节点的分布情况也可以确定方程中源项的大小。所以,只要计算出边界节点源项,再通过插值得到两条边界线间内部节点的源项值,就能在流场内部反映出边界点节点的疏密。对于任意两条相邻的边界线Γ1,Γ2,源项计算方法如下:

　　式中,α_p,α_q是收缩因子,用来根据计算的需要进一步调整内部网格节点位置,通常情况下取α_p=α_q≈2·0即可满足要求,函数d的取值方法如下: