下降液膜流动模型及稳定性分析

　　1　引　言

　　液膜流动现象普遍存在于多种工业设备,如冷凝设备、蒸发设备、气体吸收设备以及润滑装置等。液膜的流动对传热、传质及阻力特性有很大的影响,因此,液膜流动的研究具有重要的理论和应用价值。

　　Pierson和Whitaker对下降液膜进行了实验并对其Orr-Sommerfeld方程进行理论计算,阐明了下降液膜流动所具有的波动特性[1]。Kapitza对Orr-Som-merfeld方程进行了简化分析,获得Kapitza模型[2]。该模型简单(属一阶边界层模型),只能反应一定的液膜流动波的特征。本文将从完备的下降液膜流动的模型出发,采用边界层理论进行分析简化,建立二阶边界层模型,作为探讨下降液膜流动的非线性问题的基础。

　　2　液膜流动模型

　　粘性液体受重力驱动,沿垂直壁面形成波状的下降液膜,液体自由表面附近是静止气体,液膜流动如图1所示。根据实际情况,液膜厚度与流动方向尺度相比非常小,可以认为液膜的流动为二维流动。

　　据经典流体力学理论,假定壁面上无滑移现象,从而壁面边界条件为:

　　设A点是自由界面上任意一点。A点的单位法向矢量和单位切向矢量分别为 n和 s,其表示形式可为 s = icosΨ+ jsinΨ, n= i(-sinΨ)+ jcosΨ。根据导数的定义,存在关系式tanΨ=h/x,其中h表示液膜的厚度。显然A点的法向速度为

　　在自由界面上液体和空气的法向方向和切向方向受力平衡方程为

　　式中:σ为表面张力,[]表示自由界面上应力之和,Ts和Tn为空气和液体在自由界面上的切向应力和法向应力。

　　在流体力学中,矢量和张量有tn= n· T =(TyxcosΨ-TxxsinΨ) i+(TyycosΨ-TxysinΨ) j的关系,且张量 T存在对称关系Tyx= Txy。其中,Txx、Tyy和Tyx分别为。所以,A点的切向应力和法向应力为

　　如果忽略空气的粘性,则在自由界面上,切向应力和法向应力各自总和表示为

　　液体在A点的切向应力和法向应力按式(5)和式(6)确定,这样就获得了自由下降液膜流动的二维N-S流动方程,其表示为:

　　3　液膜流动方程的简化

　　显然,上述方程是非线性方程,且具有很强的非线性。对于非线性问题的研究,通常采用数值方法和解析两种方法。在解析方法中又有解析求解和定性分析两种,解析解一般不易获得,所以往往对方程作定性分析以获得问题中所含的规律性,为数值计算提供有益的信息,如离散方法的选择,数据的处理等。在非线方程的定性分析中,一般需要对原有的非线性方程进行简化。