无网格基底函数对梁固有特性计算精度的影响

　　无网格法只需节点而不需网格信息，使其在模拟摩擦、板壳弯曲、裂纹扩展和材料非线性等静力问题的计算中得到有效应用^{[1 -4]}，目前在动力问题分析中的应用正在兴起^{[5 -7]}，文献^[5]讨论了广义特征值问题，文献^[6]、[7]计算了梁板自由振动问题的动态特性，文献^[8]计算了复合板壳的自由振动问题. 文献^[8]采用了正交基函数进行计算场函数，克服了病态方程组带来的困难.文献^[9]分析了基底函数的阶次对无网格计算精度的影响. 根据以上文献介绍的方法和结论，本文利用 Schmidt 正交化手段构造出正交多项式序列. 分别用幂函数多项式基和带权正交基底函数对位移场函数进行逼近. 用两种基函数构造的形函数离散梁振动方程，采用罚函数方法满足本征边界条件，得到了固有振动无网格方程，求解其固有频率和模态向量，并将两种方法的计算结果进行了分析比较.

　　1 移动最小二乘法( MLS)

　　在移动最小二乘法中，求解域内任意一点位移 u( x) 可以取试探函数

　　p( x) ∈R^m，a( x) ∈R^m. m 是建立在空间坐标x 上的完备多项式基中单项式的个数. 公式( 1) 是指全域的最小二乘近似. 为了确定 a( x) ，建立离散加权误差范数并使误差最小.

　　其中: 特性的权函数; u^h( x，x_I) : 函数 u( x) 的局部逼近函数; u( x_I) : I 点处的 u( x) 真实解; x_I，n: 点 x的紧支域内的节点，插值基点数.

　　式( 2) 的矩阵形式为

　　为使近似解在所取误差标准下最好地逼近真实解，J 应取极值，有:

　　2 正交基函数

　　式( 6) 中，当 m 较大时，A- 1( x) 的求解是很困难的，甚至是不存在的，为了克服这一困难，选择一组带权的正交函数作为基函数，同时也可以提高计算精度和效率[8]。 利用 Schmidt 正交化手段构造出正交多项式序列 ，这里 x 代表全域变量，表示在计算 ai( x) 时局部逼近的影响域.

　　依据正交化条件，( 4a) 式中的矩阵 A 就变成了对角阵，则系数 可以直接由( 4) 式求得:

　　这里使用正交化基的最小二乘方法只是构造了不同的形函数，x 和 的区别只是在计算系数时，即局部逼近时需要区别，在全域的形函数里都用 x表示，式( 6) 中的形函数变成

这里的逗号及 k 表示对 k 方向求偏导数.

　　3 权函数

　　通过式( 1) 和( 2) 可以看出: 求解域内任意一点的位移值都是根据影响该点的节点的广义节点位移通过函数拟和得到的，在确定 a( x) 的过程中，对拟合结果有影响的因素主要就是基底函数p( x) 和权函数 w( x) 及其影响该点的节点个数.