变截面压杆临界载荷的迭代算法

　　受压杆件稳定临界力的计算是工程结构中常见的问题[1]，如高耸结构和桁架. 应用材料力学理论中，针对常截面，可以通过欧拉公式 Fcr=π2EI / ( μl)2和经验公式 Fcr= a - bλ 来确定临界力. 但是受压杆截面为1变截面时，没有相应临界力表达式.目前，采用传递函数、有限单元法等方法成为这类问题的主要方法. 理论分析与计算过程较为繁琐[2 -5.本文从稳定基本原理，将建立了一种计算临界载荷的一种有效方法. 并针对算例分析.

　　1 变截面压杆临界力所满足的非线性方程组

　　以简支梁为例说明. 当压杆在稳定状态，应该满足: 在该临界力的作用下，杆件处于弯曲状态下平衡状态. 若计算工程实际中临界力，也就是杆件的一阶临界力，杆件正好处于图1 所示状态. 设未知的挠曲线方程为 y = f( x) .

　　若将杆件沿横坐标 x 轴离散，取Δx = l/n，离散横坐标为 xi= iΔx，i = 0，1，2，…n. 对应挠度线的纵坐标为 yi，i =0，1，2，…n，( xi，yi) ，i =0，1，2，…n 为离散点. 对于简支结构y₀= yn= 0.

　　针对压杆挠曲轴线微分方程: EIy″ = M( x) .应用差分原理,代入变截面条件I( xi) = Ii转化为:

　　方程( 1) 为含 yi，i =1，2，…，n -1 和 Fr未知量为n 个的非线性方程组. 由于未知量数量大于方程的数量，因此不能直接求解临界力.

　　最关键的基本概念是，在临界力作用下，挠度线存在一种形态，挠度线y 值是不定的. 但是若给出其中的一点xm处的挠度ym，则变形曲线就是唯一确定的. 此时共有 yi，i = 1，2，…，n - 1，i≠m和临界力Fr的 n -1 未知量，可以由方程( 1) 唯一确定. 但是方程是非线性方程组，不能应用解析法求解.

　　2 临界力求解的迭代算法

　　2. 1 固定分点条件下临界力迭代算法

　　2. 2 固定分点迭代计算结束条件

　　2. 3 精确临界力的逼近条件

　　2. 4 程序设计

　　按( 4) 式迭代算法，应用 Fortran PowerStation语言完成程序设计.

　　3 临界力求解算例分析

　　算例1 两端铰支受压杆，压杆长l，截面为常数 EI，确定临界力.

　　该算例为研究问题的一个常截面特例. 当取n = 4，m = 2，并取 y₃= 1，取初值: yi= 0. 2，i = 1，2…，n +1，i≠0，m，n 取 e1= 10^{- 6}，迭代 16 次，迭代计算达到精度要求. 下面列出迭代计算过程.

　　此时，与精确值相对误差为: | ( 9. 37258 -π²) /π²| = 5. 03% . 应用程序针对分点为n = 4，6，…50 情况计算临界力，所取 ym= yn /2= 1，取迭代精度e₁= 10^{- 6}. 获得临界力列表2.