静不定结构位移计算及其应用

    0 概述

    静定结构位移计算采用单位荷载法相当方便，同样此法也可应用于计算超静定结构的位移，其计算技巧往往被人们忽视。特别是推广到计算单自由度的超静定结构的振动频率和周期，一般结构力学教材和专著中很少涉及。为此，本文特多举些计算实例，以飨读者。所谓超静定结构，是指含有多余未知力，超静定结构的多余未知力，一旦选定并根据变形协调条件解出，此时结构就当作静定结构处理，多余未知力和外载一并当作外加荷载看待。要求结构上任意一点的位移，可以采用在计算上最方便最省时的计算简图，要掌握结构静定几何上稳定的简图［1 ～6］。为此，应用实例来说明。如图 1( a) 所示框架，在荷载作用下，内力如结点弯矩已用力矩分配法或其它方法计算出来，如图 1( b) 所示( M) 图。

    下标( M₁₁) 指第一方案单位力简图，( M₂₁) 指第 2 方案简图。现在求横梁 12 水平位移，选基本体系切断斜柱 13 柱脚 3，得出( M₁₁) 图，让( M₁₁)与( M) 进行图乘，得 δ^{( 1)}₁₁。上标指第 1 方案。换一个基本体系切断立柱 24 柱脚 4，得出( M₂₁) 图，让( M₂₁) 与( M) 进行图乘，得 δ^{( 2)}₁₁，上标( 2) 指第 2方案，δ^{( 1)}₁₁必定等于δ^{( 2)}₁₁。下一节用实例来演示计算步骤，这里不赘述。

    1 超静定刚架位移计算

    超静定刚架或者连续梁在已知外荷载作用下，随便用变形法、力矩分配法、矩阵位移法等一旦将结点弯矩计算出，并绘出整个结构的弯矩图，再按所选择的基本体系进行位移计算，极其容易。见如下实例。

    例题 1: 图 2( a) 所示刚架，ac 柱受均布侧向荷载，各结点弯矩已计算出，并绘出刚架的弯矩图( M) ，求横梁 d 端的水平位移。

    上标^{( 1)}和^{( 2)}指简图方案( 1) 和( 2) 。

   2 个结果的误差是有效位数引起的，原弯矩图只取 3 位有效位数，精度已达 3 位，第 4 位误差可略而不计，因原有效位数 3 位，如令 δ_1p= 1，可计算振动周期。

    例题 2: 图 3( a) 所示刚架，在水平荷载作用下，用力矩分配法已计算出弯矩图( M) ，试求出横梁单元 c 点的水平位移。

    弯矩图有效位数取 3 位，运算结果精度为 2位，误差不大忽略不计。

    例题 3: 图 4( a) 所示刚架，在垂直外荷载作用下，各结点弯矩已计算出，并绘出各单元弯矩图，如图 4( b) ，试求梁元 bc 的 c 端水平位移。

    弯矩图取的 3 位有效位数，运算结果有效位数精确度是 2 位，这种误差是允许的。