矩形容器内液体三维晃动特性研究

    液体晃动是指具有自由表面的液体被限制在一个有限的容器内，液面做自由或强迫振荡，涉及船舶、水利、土建、航空、大型化工设备等诸多领域，已引起广泛重视。目前，主要研究集中于容器内液体的晃动对储存系统的动态响应［１～４］，可归结为两类：①特征值问题。求解各类容器内液体晃动的自然频率，这是进一步研究液体晃动问题的基础。②在外界有规律的强迫挠动下，容器内液体的反应。数值模拟液体的晃动实际上是用数值方法求解带有自由边界的非定常流体的动力学问题，由于自由液面的位置未知，且自由液面边界条件为复杂的非线性方程，因此具有自由液面的流体的流动是用数值方法求解最困难的问题之一。自由液面的数值处理涉及自由液面的离散表达式、自由液面随时间的变化及自由液面边界条件的离散表达式３个问题。在土建、水利工程中，常遇到各种形状的贮液结构，当贮液结构（容器）具有大的空间刚度时，可忽略器壁的弹性变形，将容器近似为绝对刚体。鉴此，本文基于液体晃动的泛函极值原理建立了任意充液容器内液体晃动的有限元分析模型，计算过程中假定容器壁面为刚性，液体在固—液界面上沿法线方向的分速度为０，忽略了晃动自由面上液体的表面张力。

    １　基本方程

    将容器壁简化为刚性，容器内液体无旋无粘性，则液体在域Ｖ内满足连续性方程、Ｅｕｌｅｒ水动力学方程，在容器湿表面Ｖ_ｗ（固壁边界）上满足不可渗透性条件，在自由面Ｖｆ（自由面边界）上满足运动学边界条件和动力学边界条件。设液体的速度势为φｘ，ｙ，（ ）ｚ，则φ满足下列方程和边界条件［５，６］：

式中，ｇ为重力加速度。

    令，代入式（１）得到自由晃动特征问题：

式中，ω为特征频率。

    式（２）可转化为如下泛函：

    式（３）的极值问题为：

    δΨ ＝０           （４）

    单元内的待解函数表达式为：

式中，Ｎ_ｊ（ｘ，ｙ，ｚ）为单元插值函数；ｅ为单元范围内；Φ^ｅｊ为单元节点的场变量。

    则可将液体域Ｖ上的解函数写为：

式中，（Φ_１，Φ_２，…，Φ_ｎ）为液体域Ｖ上的所有节点变量。

    将式（６）代入式（３），则泛函成为节点变量（Φ_１，Φ_２，…，Φ_ｎ）的函数，即：

    Ψ ＝Ψ（ Φ_１，Φ_２，…，Φ_ｎ）（７）

    求解泛函极值问题等价于求解如下方程组的解（Φ_１，Φ_２，…，Φ_ｎ）：