空化水射流空泡溃灭过程的数值分析

    0 引言

    目前，高压空化水射流已经应用于很多领域，如岩石破碎、海上石油钻井、船舶清洗、空化水射流处理有机物废水以及医疗技术等，但目前对于空泡生成和溃灭的机理还不清楚．

    对于空化水射流而言，其空泡半径与压力、时间存在确定的函数关系，而三者的关系直接影响空化射流的效率以及能量释放程度． 因此，旨在研究它们之间关系的空泡动力学方程在空化理论中占有重要的地位．

    对于一个包含空泡的液体，如果已知射流中单个空泡的内外压力，就可以计算它的半径 R［1］，同时能够建立一个 Rayleigh-Plesset 方程来近似求得气泡的运动状态［2］． 理论上这个方程可以使用常见的任意一种有限元差分法解决，但由于空泡半径随时间变化的过程是非线性的，常用的迭代方法在求解 Rayleigh-Plesset 方程时存在困难，计算量大、精确度低，特别是在空泡溃灭阶段会产生振荡． 笔者根据变步长法的基本思想，结合自主研发的空化水射流对各种迭代法的计算效率进行分析，提出了变步长的 Rayleigh-Plesset 方程计算方法． 变步长法能够更有效地模拟空泡最终溃灭阶段的能量释放过程，而这个能量释放过程正是研究其对附近边界产生破坏作用机理的关键［3 －4］．

    1 Rayleigh-Plesset 空泡运动方程

    Rayleigh-Plesset 方程是解决空泡运动方程的经典方程，在空化水射流的研究中，经常需要确定空泡随时间的变化以及最终溃灭放能情，而通过 Rayleigh-Plesset 方程可以较为准确地得到空泡半径与时间的关系． 它是一个二阶微分方程［5］．

式中: ρ 为液体密度; μ 为液体运动黏度; t 为时间; p∞为液体静压; pB为空泡内的压力．

    式( 1) 可以转换为以下的一阶方程

当 x 为因变量时，令 R = x，可同时求解式( 2)和( 3) 以得到方程的解． 令:

    采用 Euler 法、Central 法、改进 Euler 法和Runge － Kutta － Fehlberg 法 4 种有限元拆分法求解［6 －7］，则需将方程( 1) 改写成

    先将式( 7) 转变成形如式( 2) 和式( 3) 的两个一阶等式，以便应用 Runge － Kutta － Fehlberg 法，令 x = R，则

    假定 pB和 p∞以及初始条件 R0、R·0已知，便可以通过式( 8) 和( 9) 求解空泡半径 R，即空泡从生长到溃灭的过程中的大小可以以时间的函数来表示．

    在式( 9) 中，变量是 pB和 p∞． 推测空泡中含有杂质气体，其压力为 pgo大小为 Ro，水蒸气压力为 pv，在气体不会凝结的前提下，它是一个与温度相关的定值［9 －10］，因此，笔者将其简化为