一端固定具有中间支承输流管道临界流速及稳定性分析

　　0 前言

　　输流管道的振动与稳定性问题，一直是结构动力学研究的热点，这不仅因为它具有较高的学术研究价值，而且它还有着广泛的工程应用背景。1997年及 2002 年，JIN 等[1-2]研究了具有弹性支承和运动约束的悬臂输流管道稳定性及运动分岔问题。

　　2003 年，金基铎等[3]研究了两端简支输流管道的稳定性及参数共振问题。2004 年，金基铎等[4]研究了两端固定输流管道的运动稳定性及参数共振问题。同年赵凤群等[5]研究了具有可移动弹性支承输流管道的稳定性问题。然而，有关具有中间简支支承输流管道稳定性问题的研究至今非常少，但这种管道现今被广泛地应用在某些领域中，例如深海采油使用的海底取油管[6-7]。

　　微分求积法(Differential quadrature method,DQM)是一种用于求解边值/初值问题有效的数值方法，由于它具有独特的优点，目前该法已经成功地用于多种结构力学问题的求解[8]，其主要特点是简单易行、工作量少、精度较高[9]。以往文献中微分求积法一直用来分析具有 4 个边界条件的运动微分方程[10-12]，本文首次将其推广应用到有5 个边界条件的一端固定具有中间简支支承输流管道运动微分方程中，研究管道在不同中间位置处的临界流速及稳定性问题。实例表明，该方法计算效率较高，耗时较少，精度令人满意。

　　1 管道运动微分方程及边界条件

　　考虑图1 所示竖直放置的一端固定具有中间简支支承输流管道系统，x 为管道横断面位置，xb为管道中间简支支承位置，y 为管道轴线偏离平衡位置的位移， t 为时间，a 为 Kelvin-Voigt 型管道粘弹性系数，EI 为管道抗弯刚度，m 为单位长度管道质量，m′为单位长度流体质量，v 为流体速度， F 为管道轴向预紧力，pF 为下端面单位面积流体所受压力，A 为通流断面面积，L 为管道长度，g 为重力加速度，在 x − y平面上管道的运动微分方程可表示为

　　由图1 所示，顶端固支具有中间简支支承输流管道的边界条件为

　　将式(3)中各式代入到式(1)中，得到量纲一的运动微分方程为

　　2 微分求积法的计算格式

　　微分求积法的思想本质是把函数在给定网点上的各阶导数值近似地用域上全部网点处的函数值加权后求和来表示。考虑可微的一维函数f ( x )，有

式中Lk是线性微分算子，k 是阶数，N 是域内网点总数，xj是网点的坐标值，Aij(k)是相应的权系数[13]。

　　采用非均匀网点，且分别取 b为第 Ni(i=3, 4,···,N–2)个点上的 ξ 值，设此处的 Ni为 Nb，可得到方程式(4)和边界条件(5)的微分求积法模拟方程分别为