三棱柱实体板单元

　　有限单元法自20世纪50年代开始广泛应用于工程实践以来,其理论体系日趋完善,已发表了大量的有关其理论和应用方面的论文,而其中又以板壳单元的研究最为活跃.经典的板壳单元都是基于不同的板壳理论构造的,网格剖分只需在中面内进行.随着结构设计在功能和美学上要求的不断提高,板壳的形状日益复杂多样,异形、厚度渐变或突变的板壳在工程中(特别是土木工程中)得到日益广泛的应用[1].经典的基于中面的板壳单元在分析这类结构时显得有些繁琐,且经典的板壳单元种类繁多,适用条件各异,给工程设计人员带来了一定的困难.徐兴等人[2]首先基于三维实体单元构造了16节点40自由度的相对位移板壳单元,在退化单元系列中做了开创性的工作.笔者等人[3,4]构造的16～20节点实体退化单元中放弃了相对位移,直接采用线位移,并引入分区的概念,使得该单元广泛适用于各种类型的板壳分析,并成功地应用到桥梁和基础筏板的分析.由于四边形网格的自动生成在技术上要比三角形单元困难,因此基于三角形网格剖分技术的三棱柱板单元更有实用价值.本文首先利用数值流形技术构造了6节点实体协调元,该单元可以为不同的位移分量自由选择不同的节点覆盖函数的Langrange插值阶次,并以三棱柱单元的形函数作为权重系数,从而使得不同的位移分量在单元内可以具有不同的插值阶次.在计算单元的元素矩阵时引入分区积分技术,使该单元中可以容纳不同材料.在此基础上,将Mindlin板的基本假定直接引入到应力-应变关系中,使之适用于板的分析.

　　1　六节点三棱柱位移协调元

　　图1所示为三棱柱单元,在单元节点i上构造位移覆盖函数

　　式中:ui={ui,vi,wi}T为节点位移矢量;di为单元节点i的广义位移矢量.

　　式中:Rui、Rvi和Rwi为与单元的第i个节点坐标(xi,yi,zi)相关的多项式行矢量,可以取如下形式:

　　也可以根据需要选择更高阶次的节点覆盖函数,为保证覆盖函数关于坐标轴的对称性,分析三维问题时建议采用式(4)中相应阶次的覆盖函数.取三棱柱等参单元的插值形函数作为权函数,则三棱柱流形单元上的位移函数可以表示为

　　式中:N=[N1,N2,…,N6]为位移插值形函数矩阵;de={dT1,dT2,…,dT6}T为单元节点广义位移矢量,为待求量.显然,6节点三棱柱等参单元是本文构造的协调元的一个特例.将式(7)代入几何方程,可得单元内任意点的应变

　　式中:B=LN,L为位移到应变的线性算子矩阵.

　　单元内任意点的坐标可以用节点坐标表示为

　　式中:l1和l2为三角形单元的面积坐标; J 为坐标变化Jacobi矩阵的行列式,由式(9)确定.D为弹性矩阵.对于各向同性材料,弹性矩阵可以用弹性模量E和泊松比ν表示.