考虑翘曲影响的Bernoulli-Euler薄壁梁的弯扭耦合振动

　　1　引言

　　当梁的横截面有两个对称轴时,梁截面的质心和剪切中心重合,这种梁的弯曲振动和扭转振动是独立的。然而,如果梁的横截面仅有一个对称轴,梁截面的质心和剪切中心显然不重合,此时梁的振动将总是耦合的,即合成振动是弯曲振动和扭转振动的耦合。由于弯扭耦合梁在结构工程各个领域中的广泛应用,许多学者尝试各种方法对其振动性态进行研究[1~7],但大多仅限于讨论单跨薄壁梁。

　　此外,不少学者在研究弯扭耦合梁的振动时,采用Saint-Venant扭转理论,没有考虑梁横截面翘曲刚度的影响,这种假定对于开口薄壁梁可能产生很大的误差。以下推导考虑翘曲影响的弯扭耦合Bernoulli-Euler薄壁梁单元自由振动的动态传递矩阵。精确的动态传递矩阵法特别适合于精确地求解结构振动的高阶固有频率和模态形状,此时明显优于常规的有限元法和一些近似计算方法如Rayleigh-Ritz法,因为在均匀直薄壁梁的振动分析中动态传递矩阵法的精度与单元的数目无关。在求解特征频率方程时采用自动Muller根搜索法[8]和结合频率扫描法的二分法。

　　2　考虑翘曲影响的均匀Bernoulli-Euler薄壁梁单元弯扭耦合振动的动态传递矩阵

　　考虑图1所示的弯扭耦合的单对称均匀Bernoulli-Euler薄壁梁单元,点s和点c分别为梁单元横截面的剪切中心和形心,两者之间的距离为yc。剪切中心在z方向的弯曲变形是v(x,t),绕x轴的扭转变形是ψ(x,t)。考虑翘曲影响时,此弯扭耦合薄壁梁单元的运动微分方程是[5]

　　式中EI、GJ和EΓ分别是梁单元的弯曲刚度、扭转刚度和翘曲刚度,μ是单位长度梁的质量,Is是单位长度梁绕x轴的极质量惯性矩,上标撇号和圆点分别表示相对于坐标x和时间t的微分。

　　在研究弯扭耦合薄壁梁单元的固有振动时,假定v和ψ随时间t正弦变化,即

　　令ξ=x/L,a=Isω2L2/GJ,b=μω2L4/EI,c=1-μy2c/Is,d=EΓ/GJL2,其中L是梁单元的长度。联立方程(5)和(6)可以求得其解是[5]

　　其中χ1,χ2,-χ3,-χ4,是如下特征方程dχ4-χ3-(db+a)χ2+bχ+cba=0的四个根,χj(j=1-4)是实正数,即上述特征方程的所有四个根均是实根,且两个是正实根,两个是负实根[5]。

　　遵循图2的符号规定,弯曲转角Θ(ξ)、弯矩M(ξ)、剪力S(ξ)、扭矩T(ξ)和双力矩B(ξ)的表达式分别是

　　上述方程可以用矩阵的形式表示为

　　式中

　　因为{Z0}和{Z1}分别是弯扭耦合梁单元左端和右端的状态向量,故[H]即为动态传递矩阵。

　　联立方程(14)~(18)即可确定动态传递矩阵[H]。

　　如果各个薄壁梁单元的动态传递矩阵已知,整个薄壁梁集合体的总的动态传递矩阵可以很容易确定。一旦得到总的动态传递矩阵后,利用薄壁梁集合体两端的具体边界条件,即可得到频率特征方程。该方程显然为一超越方程,它含有无限个振动频率和相应的振型。本文用频率扫描法搜索出包含各个振动频率的小区间,然后用两分法求出振动频率值,为了防止漏根,同时采用自动Muller根搜索法[8]求解来验证。将振动频率值回代到频率特征方程后,可以很容易地求得相应的振型。