随动强化结构安定下限分析的无单元Galerkin法

　　1 前言

　　经典安定分析是针对理想弹塑性结构进行的,在实际工程中得到了广泛的应用。忽略应变强化效应,一方面是为了方便;另一方面是因为应变强化一般会使安定载荷范围增大,忽略应变强化得到的结果偏于保守。但是,许多金属或合金具有明显的应变强化性质,而且材料的应变强化效应对结构的安定性影响很大。因此,在经典安定理论的基础之上计入应变强化效应是很有必要的。到目前为止,许多学者都在考虑应变强化效应的安定分析方面做了大量的研究工作[1]。

　　近年来,无网格已成为计算力学中十分热门的研究课题。它最大的优势是消除了结点的网格束缚,采用影响域内结点的信息来构造数值逼近。目前无网格法的种类已十分繁多[2]。目前,无网格法大多采用移动最小二乘近似来构造试函数。移动最小二乘近似的权函数为紧支函数,具有局部性质,而且计算精度高。其缺点是每次求形函数及其导数,都涉及到矩阵求逆和多个矩阵相乘,计算时间长,效率低。为保证移动最小二乘法的精度,需保证矩阵求逆的精确性。基于正交基函数的移动最小二乘法[3,4]避免了原方法可能存在的病态矩阵求逆引起的计算误差,计算精度高,同时提高了计算效率。因此,正交基无单元Galerkin法便于构造高精度的虚拟弹性应力场和自平衡应力场,非常适合进行安定下限分析。

　　基于层叠模型和两面屈服准则,文中发展了有限随动强化结构安定下限分析的正交基无单元Galerkin法。模拟结构随动强化特性的层叠模型将结构考虑成由具有不同屈服应力和相同弹性模量的理想弹塑性结构层叠而成,从而可将理想弹塑性结构安定分析的数值方法方便地发展应用于有限随动强化结构的安定分析。整个分析过程类似于理想弹塑性结构的安定分析过程,通过对自平衡应力场搜索子空间的不断修正,数学规划子问题的局部最优解将增大并逐步逼近于全局最优解。算例分析表明本文方法不仅便于应用,效率高,而且结果也是令人满意的。

　　2 正交基无单元Galerkin法基本理论

　　2.1 基于正交基函数的移动最小二乘近似

　　应用基于正交基函数的移动最小二乘近似,求解域内任一点的位移u(x)可以近似为[3,8]:

式中,n为计算点x邻域(子域)内的结点数,u^i表示名义结点位移值,通常它不是未知试函数Φi(x)的结点值,而形函数

　　其中,wi(x)是结点xi对应的权函数,并且它是以xi为中心的紧支函数。对已知的基函数pk(x)(k=1~m),正交基函数可用Schmidt正交化获得,即:

　　显而易见,基于正交基函数的移动最小二乘法计算过程中并不涉及矩阵求逆,避免了可能存在的病态矩阵求逆引起的计算误差,同时提高了计算效率。