钢屋架瞬态动力响应的弹性波分析

    近年来,由于桁架和格架在大型土木工程和空间站等结构中的广泛应用,对其动力响应的研究倍受关注.桁架的动力分析大体上可分为振动和波动两大类.复杂结构的振动分析常用模态叠加法,即求出一系列振动模态,将动力响应按模态坐标进行叠加得到[1].然而,对于冲击载荷引起的结构最初时刻的瞬态响应,将包含许多高频分量,使得动力响应很难用振型叠加法做精确表达.分析动力响应的另一途径是运用弹性波理论.由于弯曲波的频散效应,以及波在杆件节点处的散射、反射,对其研究很困难.文献[2,3]中提出了桁架弹性波分析的方法——回传波射矩阵法( Reverberation Ray MatrixMethod).该方法能精确地跟踪轴向波和挠曲波的传播及在各个节点处的散射过程,实验结果表明[2,3],它能精确地描述杆系结构瞬态响应.

    本文主要在文献[3]的研究基础上,对一个实际尺寸的钢屋架在下弦中点受到阶跃载荷作用时的动力响应做了计算.通过与ANSYS的有限元结果比较,可以看到弹性波方法的解含有细致的高频成分,可以认为弹性波的解给出了桁架结构瞬态响应更精确的结果.

    1　理论分析[3]

    假设结构由许多直杆在节点处刚性连接的平面刚架组成,节点可以传递轴向力、剪力和弯矩.假定结构有L根杆,n个节点,并用数字1,2,3…对节点编号,杆件则用其两端的数字表示,如杆12表示以节点1和2分别为起点和终点的杆.如图1所示,对于杆JK,分别以J和K为起点,可以有互为反向的两个局部坐标系.符号A、I、E、G和ρ表示杆的截面积、惯性矩、弹性模量、剪切模量和密度。

    根据Timoshenko梁理论,杆的轴向和横向运动可表示为

式中:κ为剪切系数;u(x,t)为轴向位移;v(x,t)=vb(x,t)+vs(x,t)为侧向位移,vb和vs分别为弯曲和剪切引起的侧向位移.上述方程通过Fourier变换,可以转换为频域中的运动方程.以轴向波为例,局部坐标中的轴向位移可表示为

式中:顶标“^”为频域中的变量;k1为波数;a1和d1分别为到达原点和离开原点的轴向波的幅值.回传波射矩阵法中以这些幅值为基本未知量.轴向力,剪力和弯矩可表示为

式中:a2(ω)和a3(ω)、d2(ω)和d3(ω)为待定的到达和离开原点的弯曲波幅值;

对于刚性连接的桁架,用fJX(t)、fJY(t)和μJ(t)表示作用在节点J的外力和力矩,节点J在整体坐标X、Y方向的位移和转角为UJ(t)、VJ(t)、ΦJ(t).mJ为节点J处的集中质量,X、Y方向和绕z轴的动量平衡方程为

式中:β为节点J绕z轴的回转半径;LJ为在节点J相交的杆的数目.在整体坐标中,节点J的X、Y方向和转角的几何协调关系可以写成: