微流动的同伦分析法解析求解

　　0引言

　　当前微米纳米尺度传热学已经成为热科学领域中最为激动人心的前沿之一，人们认识到，当微尺度和瞬态作用时间小于一定数值时，传统热和流体理论将不再适用于描述或偏离所观测到的现象[1]。在0.001< Kn < 0.1范围内，稀薄效应引起壁面处流体分子的速度与壁面边界条件不同，此种现象称为速度滑移。在此范围内，仍可以利用Navier-Stokes方程式描述流场变化，但必须引入速度滑移边界条件。对该控制方程进行解析求解对认识微流动的物理本质有重要意义。但是，由于具有滑移边界的控制方程是高度非线性的偏微分方程，求解十分困难。因此，解析解仍十分匾乏。同伦分析法是一种求解高度非线性方程的方法。它是建立在拓扑理论的同伦方法的基础上，其有效性与所研究的方程是否含有小参数无关。

　　本文采用同伦分析法对微尺度滑移流动进行了解析求解。

　　1滑移流动的数学描述

　　本文对二维无限大平行平板间滑移流动进行了研究。平板间距为2D，给定进口速度，出口压力设为大气压，流体与壁面温度一致，不考虑换热。壁面速度滑移滑移模型选取Sreeka,nth}s}提出的二阶滑移模型。由于流场关于平板中心线对称，因此，为简化计算将计算区域取对称的一半。此外，假定流动为稳态层流;忽略体力、可压缩性和粘性加热的影响;动量调节系数取为i。

　　根据上面的物理模型，建立对于不可压缩气体的控制方程。表达如下:

　　连续性方程

　　其中,入为分子平均自由程,C1,C2为常数,u、v分别为x,,方向的速度,v为运动乳度,ρ为密度,p为压强。

　　2相似变换

　　引入相似变换变量:

　　由上述相似变换可将控制方程及相应的边界条件转化为如下常微分方程及边界条件:

　　3同伦分析方法求解

　　考虑非线性方程

　　其中，.f (η)为所需求解的函数。为了运用同伦分析法，首先建立一个方程族如下:

　　N为非线性算子，定义为:

　　由上述定义，将式(11)、(12)、(13)代入式(10)，可得零阶形变方程

　　根据同伦分析法思想，Φ(η,q)的幂级数式(21)在q=1时收敛，根据式(15)、(17)，得到精确的级数解

　　根据系数遍历原则，即解表达式中的所有系数之值均能够被改善，从而确保所选择的基函数之完备性，求解过程辅助函数的选取如下为H（η=1）。

　　根据廖世俊的同伦分析理论[}3]，针对本文研究的问题，为了调节级数解的收敛区域和收敛速度，选取的辅助参数为h=1。