圆管流动的二次转捩

　　1 引言

　　自 1883 年的雷诺实验以来，对于圆管流动的转捩问题虽然广大流体力学工作者从理论、实验、数值模拟等多个方向进行了不懈的努力，取得了不少成果，但至今实验结果与理论分析不完全一致。实验中已经观察到强扰动作用下的旁路转捩[1]以及“喷噗”和“塞流”现象[2]，但现有理论并不能解释这些转捩形式的成因，其主要原因是应用线性稳定性理论分析圆管流动结果总是稳定的。近来瞬态增长理论[3][4][5][6]得到了很好的发展，但在实验中没有观察到相应的完整的现象。最近的数值研究显示了在转捩预报方面的潜力，例如单桦[7]利用直接数值模拟的方法成功地再现了旁路转捩实验中观察到的“喷噗”和“塞流”现象，马兵[8]利用直接数值模拟研究了由局部壁面引入的亚临界幅值 PSB扰动沿流向的空间发展，得到基于瞬态增长理论形成的流向条带结构，以及转捩早期阶段的扰动发展情况。本文应用与文献[8]相同的数值方法求解不可压缩 N-S 方程，通过加大网格数延长了计算圆管的长度，首次发现了基于瞬态增长理论的新的转捩形式：二次转捩。

　　2 数值方法

　　本论文研究圆管中的不可压缩牛顿流体，其运动由连续方程和 Navier-Stokes 方程来描述，方程的矢量形式可以写成

　　式中υ 为速度矢量，p 为静压。方程的层流解是具有抛物型速度剖面的 Hagen-Poiseuille 流，我们以BU 来 表 示 其 平 均 速 度 。 雷 诺 数 定 义 为Re 2UR/νB= ，利用BU 和圆管的半径 R 进行无量纲化，其中ν 是运动粘性系数。

　　图1显示了圆管的几何结构和本文中所使用的柱坐标系，其中 x, θ和 r 分别表示流向、周向和径向坐标，u,v,w 分别表示流向、周向和径向速度分量。

　　圆 管 流 动 的 初 始 场 是 充 分 发 展 的Hagen-Poiseuille 流。在出流处采用满足无反射条件的嵌边区(具有很大粘性的过渡区)，使圆管内的扰动进入到嵌边区时开始衰减，在嵌边区的出口处流动重新回到入流的 Hagen-Poiseuille 基本流，满足流向的周期性条件。同时在计算中流量保持恒定。

　　本文中研究的周期性吹吸(PSB)扰动是由管壁引入的，PSB 扰动的形式由下式给定：

　　式中disw 为壁面处径向速度，vA 为扰动幅值，ω 为扰动频率; f (x)为形函数，定义如下：

　　其中 PSB 扰动区的无量纲宽度为 d =π，扰动区的最左侧与入口间距离为π ，为分析方便我们将 PSB扰动区的中心作为流向坐标 x 的原点。壁面的 PSB扰动在每一个瞬间引入圆管内扰动质量的总和为零，保证了圆管内的流体质量守恒。

　　本文空间离散采用谱方法结合谱元法。沿流向和周向采用 Fourier-Galerkin 谱方法，均匀划分网格;沿径向采用 Chebyshev 配置点谱元法，共划分为 4 个单元，在中心单元内设置 5 个配置点，而在其余的单元内设置 17 个配置点，相邻单元在交界面上的配置点相互重合，沿径向总的配置点数为53。在时间方向的推进上，我们采用了时间分裂算法，在三个子时间步内分别对非线性项、压力项、粘性项进行积分。数值方法细节参见文献[8]。