单元结构尺寸对不锈钢/空气二维声子晶体声波禁带的影响

    1 引 言

    考虑到声波和光波在波动性上存在共性,继光波在介电常数受到周期调制的复合介质中传播问题[1,2]研究的基础上,弹性波在密度、弹性模量受到周期性调制的复合介质中的传播问题受到日益关注。1993年,M.S.Kushwaha第一次提出声子晶体的概念[3],一般指具有声波禁带的人工周期结构复合材料。声子晶体所具有的禁带特性对于人们实现噪声和振动的控制,以及声学功能器件的设计具有重要意义[3,4,7,8]。1995年,R.Martine-Sala等人针对马德里名为/自由旋律0的雕塑,实验测试了其声衰减特性[5],第一次从实验的角度证实了声波禁带的存在。在此基础上,J.V. Sanche-Perez等较深入地研究了/缩微雕塑0的声波禁带[6],认为在晶格常数保持不变时,改变散射体的数量,声衰减峰值高低有变化,但峰值位置基本保持不变。在以上工作的基础上,本文针对空气中正方形阵列的不锈钢管所形成的二维声子晶体,首先对比分析了平面波展开(PWE)法计算和实验测试所得的声波禁带结果,然后着重讨论了晶格常数、散射体半径和填充率对该二维声子晶体声波禁带的影响。

    2 模型与禁带计算

    在笛卡尔坐标系下,建立PWE法计算二维声子晶体声波禁带的理论模型:以柱体轴向作为Z轴,柱体无限长;柱体横截面为XY平面,柱体在XY平面内周期排列,且数目无穷多。图1为不锈钢圆柱周期排列在空气中形成的二维声子晶体部分横截面,其中正方形边长a称为晶格常数,钢柱外径为R,填充率f=PR2/a2。虚线框表示最小结构单元;右插图阴影部分表示第一简约布里渊区。在使用PWE法求解固/气体系二维声子晶体的声波禁带时,一般采用以下近似方法[7~9]:把固相圆柱体用与之具有相同密度和纵波速度的液柱代替,采用液/气体系二维声子晶体的波动方程求解。描述声波在液/气介质中的波动方程如下:

    其中,ry为坐标矢量,K(ry)称为腊梅常数,Q(ry)为材料密度,uy(ry,t)是与坐标和时间有关的位移矢量。定义标量5(ry,t)如下:

    由于结构的周期性,据Bloch定理:

    这里5ky(ry)和材料密度Q-1(ry)、弹性常数K-1(ry)均可二维富里叶展开。为了方便,把这些参数统一记为g(ry):

    其积分区域8为二维声子晶体的一个最小结构单元,如图1虚线框区域,S为其面积。

    其中P(Gy)称为结构函数,只与散射体的形状有关。对正方形排列的圆柱体阵列:

    J1为一阶第一类贝塞耳(Bessel)函数;R为散射体半径,f表示填充率。把(4)~(8)式分别代入(3)式可得:

    上式是依赖于倒格矢Gy、Gyc的一个无穷维线性方程,实际计算时只能取有限数目的倒格矢来逼近。本文在使用PWE法计算能带结构时采用289个倒格矢。计算对象由半径为1.425cm的不锈钢柱正方形排列在空气中形成。图2(a)是计算得到的晶格常数为10.3cm(填充率为0.06)时的能带结构。从中可看出,图2(a)是PWE法计算得到的能带结构,阴影表示#X方向禁带。图2(b)表示测试得到的插入损失曲线。该晶格常数下不锈钢/空气二维声子晶体不存在完全禁带,位于第一和第二能带间的#X方向禁带频率为1485~1739Hz,其只能隔离该频率范围内沿此方向传播的声波。