高阶剪切变形理论下三边夹紧一边铰支复合材料层板的几何非线性分析

    1　引　言

    建立在克希霍夫假定基础上的经典板壳理论专著有Timoshenko[1]和Szilard[2]等,Hearmon[3]和符拉索夫[4]用梁振型函数分析了各种矩形边界条件下板壳的线性问题,Chia[5]对复合材料板非线性弯曲、屈曲和振动进行了系统的研究,作者本人[6]讨论过同本文类似边界条件下的大挠度问题,但文献[5,6]讨论的均为簿板,没有考虑横向剪切变形的影响。Reddy[7]在84年提出了小变形高阶剪切变形理论,随后[8,9]提出了非线性剪切变形理论,并形成了一套完整的理论体系[10,11],Shen[12~14]在此基础上研讨了复杂环境下复合材料板壳的几何非线性问题,并取得了满意的结果。

    本文在文献[6]的基础上,首先利用Reddy型高阶剪切变形板理论给出了以五个位移形式表示的Karman型非线性大挠度方程,并算出了三边夹紧一边铰支对称正交铺设层合板在均布载荷作用下的中等大挠度结果。计算结果表明,簿板用克希霍夫假定是合理的,而对于复合材料的中厚板而言,横向剪切变形的影响是显著的。

    2　基本理论

    考虑长为a,宽为b,厚度为h的正交对称铺设层合板,承受均布载荷q的作用。将x、y轴置于板的中面,根据Reddy[7]高阶剪切变形理论,位移场如下假定时,板的上下表面切应力为零:

式中u,v,w分别为中面上任意点(x,y)处三个方向的位移,φx和φy分别为板中面法线相对于y和x轴的转角。

    利用虚位移原理导出平衡方程,作无量纲化处理,得到五个以位移形式表达的Karman型几何非线性控制方程:

    其中的δi是与材料常数有关的系数,而

    3　求　解

    选定如下位移函数能精确地满足边界条件(8):

(10)式中的有关系数由下面定义:

Rm(ξ)为一边简支、另一边固支的梁振型函数;Sn(η)为二边固支的梁振型函数。它具备如下正交特点:

为便于计算,把均布载荷转化为富氏级数:

这里运用Galerkin方法,把(9)式代入控制方程(2~6)中,(2~6)式中五个方程的两边分别依次同乘以Im(ξ)Jn(η);　Im(ξ)Jn(η);　Rm(ξ)Sn(η);　R′m(ξ)Sn(η);　Rm(ξ)S′n(η),在板的面积区域内进行积分,得到:

式中H_imn、P_i和Q_i为与材料常数和位移函数相关的系数。

    4　数值结果

    图1为本文解同克希霍夫假定条件下文献[6]的结果比较,计算材料为各向同性方板(γ= 0.3)。实线为本文解,虚线为文献[6]的解。从图中可清楚地看出,三条曲线比较靠近,这表明,与经典板几何非线性结果相比,考虑剪切效应各向同性厚板的几何非线性结果相差并不大。图2计算所用的材料则是正交异性硼环氧方板,材料参数[10]为E₁/E₂=10,G₁₂/E₂=G₁₃/E₂=1/3,G₂₃/E₂=0.2,γ₁₂=0.22。图中的虚线非常接近于a/h = 100的情况。即克希霍夫假定的经典板理论同计及横向剪切变形下的正交异性簿板情况相比,结果非常接近;而对于其厚板,差异非常明显,尤其以载荷不大时为甚。但随着载荷的增加,非线性程度的加大,这种差异在不断地缩小。