受轴向冲击圆柱壳的塑性动力屈曲研究

　　1 引 言

　　圆柱壳是工程中常用的结构元件,其在冲击荷载作用下的屈曲行为一直是人们关注的问题[1~3]。王仁、韩铭宝等[4~5]自80年代初期开始对受轴向冲击圆柱壳进行了大量的实验研究和理论分析:在实验中首次发现,除了通常意义上的屈曲阈速度外,还存在相应于非均匀非轴对称屈曲模态的第二临界速度,第二临界速度概念的提出对于工程中结构耐撞性问题的研究具有十分重要的意义;在理论分析中,采用放大函数法,假定屈曲模态仅为轴向坐标x的函数,通过考虑应变率反向来得到第二临界速度。马宏伟等[6]曾对受轴向冲击的圆柱壳的塑性动力屈曲进行了实验研究,从实验中得到了对应于轴对称屈曲模态的第一临界速度及对应于椭圆形和三角形两种非轴对称屈曲模态的第二临界速度,并得到了一些有益的结论。

　　在本文中,对各向同性线性强化刚塑性圆柱壳在轴向冲击载荷作用下的屈曲行为借助放大函数法进行了理论分析,在分析中直接令屈曲模态包含轴向坐标x和环向坐标H,通过最优模态的分析可以直接得到相应于壳体发生轴对称和非轴对称模态的临界速度,在此基础上进一步讨论了临界速度与径厚比的关系。

　　2 最优模态分析

　　如图1,各向同性线性强化刚塑性圆柱壳(长为L,半径为R,厚度为h,密度为Q,质量为m0,强化模量为Eh),受到质量为m、速度为v的子弹撞击,垫块质量为m1。壳体一端自由,一端靠在刚性支座上。令壳体在轴向冲击作用下总的径向位移Wt同时为轴向坐标x和环向坐标H的函数,且Wt可写成

式中:W₀为初始位移缺陷,W-为径向主运动引起的径向位移,W为扰动运动引起的径向位移。假定壳体主运动的轴向和径向速度随时间线性减小,将壳体的屈曲看作是径向主运动上叠加的扰动运动,则壳体的应变率可表示为

式中:v₀为经子弹碰撞后壳体端部的初始轴向速度,v为碰撞后壳体的初始径向速度,tf为响应时间。由壳体在无扰动运动情况下初始时刻、t=tf时刻的能量平衡及壳体的径向平衡方程可得

　　式中:σe为等效应力。对于各向同性塑性材料,Prandt-l Reuss方程给出

　　(6)式中的等效应变率E#可表示为

　　积分可得壳中的广义内力

　　由壳体的径向动力平衡方程及壳体均匀变形的主运动方程,可得其扰动运动满足的平衡方程

　　考虑到(11)式,则(12)式的无量纲化形式为

　　对于给定的环向半波数n及冲击速度v0,由初始位移放大倍数Amn和初始速度放大倍数Bmn的最快增长,可给出N=0时的临界轴向半波数m,放大倍数的极值刚超过某一事先给定的值时,所得速度即为所求的临界冲击速度。