环向开敞长柱壳的稳定性初探

    柱壳是一种常用的工程结构,分为环向开敞和环向闭合两种,也即通常所说的部分柱壳和圆柱壳。多年来,人们对受内压作用的环向开敞柱壳和受内、外作用下的环向闭合柱壳进行了大量的研究,得到了足以满足工程计算需要的公式。然而,却未见在外压作用下环向开敞柱壳的临界失稳压力计算公式。笔者对此进行了分析推导。当环向开敞柱壳(下称柱壳)的直边边长a与截面圆弧弦长b之比>3·0时,在计算柱壳轴向应力时,可用梁理论来计算;在计算周向应力时,可将柱壳分成弧形截条当作圆弧拱圈来计算[1,2]。按此推导柱壳在外压作用下的临界失稳压力公式[2,3]。

    1　力学模型

    直边边界支承条件为固支和铰支的柱壳,其力学模型截面见图1。由于腹板足够长,在距离上下边界相当远的地方,上下边界力及力矩已不能对临界压力产生影响。因此,长柱壳的临界压力计算方法与柱壳中远离上下边界处切出的圆弧拱圈相同。

　　从柱壳中切出宽度为1个单位长度的圆弧拱圈进行分析,分别进行两种边界条件的柱壳临界压力公式的推导。

    2　固支边界支承条件柱壳的应力分析

    2.1　临界变形之前问题的解

    力学模型所示圆弧拱圈为一个三次静不定问题。切出1/2圆弧拱圈,求解截面上的弯矩、剪力和轴力,见图2。其中,P₁为端面剪力,T₁为端面轴力,M₁为端面弯矩, V₁、W₁为端面位移,φ₁为端面转角。

　　由对称性可知,P₁=0、V₁=0、φ₁=0。由文献[4]可得:

    式中,EJ为圆弧的弯曲刚度。本问题J=h₃/12,h为腹板厚度。令φ₁=V₁=0,可得T₁=-qR、M1=0。圆弧上任意截面临界变形前的弯矩M′、轴力N′、剪力P′如下[4]:

    2.2　临界失稳压力公式

    图3给出了截取1/2拱圈在临界状态下的受力情况(其中OA为夹角等于α的拱圈的中心线),实线表示原来的圆弧,虚线表示在均匀外压q作用下挠曲的圆弧。图中R、r分别为变形前后圆弧中心线的半径,W为失稳时的径向位移, W0为截面A处的弯矩,F为截面A处的压缩力。

    2.2.1　变形与弯矩关系

    圆弧曲率变化与弯矩之间的关系[4]:

   M = EJ(1/R-1/r)           (1)

    2.2.2　几何方程

    圆弧微元的几何方程[2]:

    1/r =1/R+ W/rR+d²w/dl²           (2)

　　式中,dl为微元弧长,dl=Rdθ。

    2.2.3　挠曲线微分方程

    将式(2)代入式(1),并假设rR=R²得:

    d²w/dl²+ W/R²=- M/EJ