连续超静定梁的简化计算方法

    1 引入刚性系数和载荷分布系数的三弯矩方程

    三弯矩方程求解复杂的超静定梁是一种有效的方法。为使这一方法在计算中更简捷方便，引入了一个无量纲的刚性系数α 和载荷分布系数 A, B。文中给出了刚性系数的表达式和工程中各种常见结构梁在不同载荷作用下的载荷系数的表达式。下面举例介绍这种简化方法及其应用。如图 1 所示，一连续梁有多重支座且在同一水平线上，梁上支座把梁分成不同跨距，并且各截面不同。梁有四个多余约束，属四次超静定问题[1]，建立其简化的三弯矩方程

式中:α 为刚性系数，与梁的惯性矩 I 和跨距l 有关，无量纲； A, B为跨距两端的载荷分布系数，表示不同受力状态下梁的横向载荷对弯矩的影响 (见表 1)，N·mm; n的取值范围为 0～n。

    对于图 1 所示的连续梁，每一相邻跨距都需要一个三弯矩方程求解弯矩， 图 1（d）取相邻跨距 3～4 和 4～5作为隔离体进行分析计算， 给出了其基本梁的弯矩图。联立求解下列方程组计算 4 个未知弯矩

式中刚度系数 α 按式（2）计算，载荷系数 A, B的取值见表 1，且有 0₁M =, 0₆M =, 0₁A =, 0₅B =, 0₄A =, 0₆B =。这是一个比较复杂的例子，在实际工程中的设计问题一般只需求解 1 个或 2 个方程。

    2 工程中几种典型静不定梁的应用举例

    三弯矩方程中的系数 A, B分别表示每段跨距左右两端的载荷分布系数，一般不相等，见表１。只有当跨距上的横向载荷是均布或对称分布，则 A, B取值相等。如果一段跨距上有几种不同的载荷作用，可分别求出每种载荷单独作用时的载荷分布系数，然后将其叠加起来代入三弯矩方程中,其表达式见表１。

    2.1 三支座梁

    图 2 中，梁有两段跨距，是一次静不定问题， 两端简支处弯矩1M 和3M 均为零，弯矩2M 是唯一未知量，根据式（1）有

取刚度系数跨距 2～3 上没有载荷, 故3B =0；跨距1～2 的载荷系数1A 按表 1（b）计算得1A ＝1200N·m，将2α ，1A 代入式（3）得2M =685.7N·m。

    2.2 支承悬臂梁

    图 3 中，梁由跨距 1～2 和右端等效跨距 2～3（其刚度系数为无穷大）组成[2]，为一次静不定。左端简支处弯矩1M =0, 刚度系数 ，故2α3B＝0，跨距 1～2 的载荷分布系数1A 由表 1(e)可知,1A=1/)2Wl ,根据式（1）有 0＋2（1＋0）2M +0=(1/4)2Wl ，故2M =（1/8）2Wl 。