用有限元法求解水下拖缆振动特性

　　到目前为止,国内外对水下拖缆进行的少量研究,主要集中于拖缆工作过程中的静态或动态位形以及拖缆上的水流作用力[1].针对水下缆索结构的振动情况进行研究的文献主要是一些实验报告,未见从理论上对拖缆振动特性进行分析的文章.

　　由于拖缆的运动微分方程是二阶或四阶的耦合微分方程组,而且方程中包含了水流作用力等形式复杂的外力成分,目前只能用数值方法对其进行求解.本文在对拖缆振动特性的研究中,对拖缆垂直于来流方向和沿着来流方向的振动都进行了考虑,并假设:①拖缆是在平衡位置附近作小振幅振动;②拖缆的涡激振动是在垂直于拖缆的方向上进行的,即拖缆无沿着长度方向的振动发生;③在振动过程中拖缆的张力并不改变.

　　在以上假设的基础上,本文分忽略和考虑弯曲刚度影响这两种情况,用有限元法对拖缆在平衡位置附近振动的固有频率和特征模态进行了求解^[2,3].

　　1　拖缆单元的变形能和单元矩阵

　　1.1　拖缆有限单元划分

　　在处于平衡位形的拖缆上取n个节点,将两个节点之间的拖缆段用连接两节点的直线段来代替,这样就将拖缆划分为(n-1)直线单元.每个单元的长度和倾角由节点坐标值确定:

　　式中:xi、yi为拖缆第i节点坐标;li和φi为第i个单元的长度和倾角.

　　1.2　忽略弯曲刚度

　　任意选取一拖缆单元,其长度为1.取图1(a)所示坐标系,其中x轴方向与拖缆单元重合.设在该单元上拖缆沿y轴方向的振动位移为v(x,t),沿z轴方向的振动位移为w(x,t).在单元上任取一微元段dx,在振动过程中其长度为

　　由于拖缆是在平衡位形附近作微幅振动,因此和均为微量.将ds泰勒展开,并舍去 和 二次以上的高阶成分,得

　　式中,ε0为拖缆单元的初始应变量.这样该拖缆单元由于振动而产生的变形能为

　　式中,Ek0为拖缆单元的初始变形能.由于Ek0,T=EAε0,将它们代入式(5)并舍去二阶以上的高阶成分,得

　　式(6)即为忽略弯曲刚度时拖缆单元的变形能公式.

　　在忽略弯曲刚度时,拖缆单元上的任意一点具有两个位移自由度V和W,可由单元节点坐标的插值表示为

　　式中,Ue=(vi,wi,vj,wj)T为节点坐标矢量.将式(7)代入式(6),整理得

　　1.3　考虑弯曲刚度

　　任取一拖缆单元,其长度为1.取图1(b)所示坐标系,其中x轴与拖缆单元的中性轴重合.图中v(x,t)、w(x,t)分别为拖缆单元在y、z方向的位移坐标,θy、θz分别为拖缆中性轴在平面xy和xz内的转角.