多变量AR建模方法在工作模态参数辨识中的应用

　　实际工作状态下辨识模态参数能更准确的反映结构的实际动态特性,更好的服务于损伤检测和结构设计优化。在实际工作状态下,实测的响应数据能够真实地反映结构本身的固有特征、边界条件和环境载荷特性,与主动控制、系统检测和设备健康诊断等工程应用直接相关。所以如何有效的利用响应数据辨识结构模态参数[1]已成为结构动力学参数辨识的焦点问题。大量的研究致力于将传统模态分析技术中已经成熟的方法移植到工况模态分析中来,其理论[2, 4]和应用成果[3]显著。

　　由于系统输入信息的缺失必然引起结构辨识的不完整性,如何通过对响应数据进行分析计算获取结构的环境载荷特性和模态振型的相关信息是工况下模态参数辨识中所关注的问题。多变量AR建模分析法则通过对模型参数矩阵的特征分解,并在一定假设条件下,把系数期望值矩阵完全解耦,而获取结构的激励和振型的规则化条件。

　　1　多变量AR建模

　　多变量AR建模分析[7]是利用多组数据建立AR参数模型,由逐步最小二乘法[8]和准则函数优化思想确定模型阶次及估计模型参数,最后对模型参数矩阵进行特征值分解[8],在一定的假设条件下解耦系数期望值矩阵获取结构的激励和振型信息。这种方法主要有两个关键点,一是模型参数的估计,二是参数矩阵的特征分解。

　　1. 1　模型参数估计

　　一个m维变量的稳态时间序列的p阶自回归模型表示为

　　式中Al表示模型系数矢量;w表示截止项,m维矢量,用于得到一个非零均值的时间序列;vv表示状态向量, vv∈Rm,其期望值,E (vv)=(1-A1-…-Ap)-1w;εv是m维不相关的噪声随机矢量,零均值,协方差矩阵为C,C∈Rm×m。

　　由矩阵表示(1)式为

　　式中εr为噪声矩阵,εr=noise(C);B为参数矩阵,B=(wA1…Ap);ur为预测矩,ur=(1vr-1…vr-p)T;T表示矩阵转置;引入数据矩阵K,距量矩阵Γ

　　对数据矩阵K进行QR因数分解,Q为直角矩阵,R为上三角矩阵

　　由Γ=KTK=RTR得

　　由(3)式得出参数矩阵B和噪声协方差矩阵C的最小二乘估计为

　　式中np=mp+1

　　残差协方差矩阵C^为半正定矩阵,得出后进行模型阶次选择。阶次选择就是对准则函数lp进行优化。阶次选择准则函数通常是残差交叉积矩阵Δp的确定性对数函数,表示为

　　逐步最小二乘法是通过对最小二乘法的数据矩阵K进行矩阵缩减得出缩减数据矩阵,即把矩阵K中拖尾子矩阵的列缩减掉,然后再进行因数分解。这种缩减过程,可从阶次Pmin开始直到Pmax估计出相应的准则函数并进行优化得出最优阶次Popt。此法与传统方法相比计算速度快了Pmax-Pmin+1倍。矩阵缩减不影响矩阵的分解,其数值计算过程稳定;而且在研究和应用中还发现,逐步最小二乘法对高维时间序列的参数估计更加有效。